8. 如图，AB是$\odot O$的直径，BC是$\odot O$的弦，$BC=3$. 将$\overset{\frown}{BC}$沿着BC折叠后恰好经过点O，则AB的长为(
A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.4
D.5
B
).A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.4
D.5
答案：8. B
解析：
【分析】
这是圆的折叠性质与垂径定理结合的问题，解题思路如下：首先根据折叠后弧BC过圆心O的特点，推导得出圆心O到弦BC的距离等于半径的一半；其次过O作BC的垂线，利用垂径定理得到BC一半的长度；最后在构造出的直角三角形中用勾股定理列方程求出半径，即可算出直径AB的长度。
【解析】
解：过点O作OD⊥BC于点D，连接OB。
根据垂径定理，D为BC的中点，已知BC=3，因此$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$。
由折叠的性质可知，弧BC沿BC折叠后过O点，可得圆心O到弦BC的距离OD等于半径OB的一半，即$OD=\frac{1}{2}OB$。
设$\odot O$的半径为r，则$OB=r$，$OD=\frac{1}{2}r$。
在$Rt△ ODB$中，由勾股定理得：
$OB^2=OD^2+BD^2$
代入数值：$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+(\frac{3}{2})^2$
展开计算：$r^2=\frac{1}{4}r^2+\frac{9}{4}$
移项合并得：$\frac{3}{4}r^2=\frac{9}{4}$，即$3r^2=9$，解得$r=\sqrt{3}$（半径为正，舍去负根）。
因此直径$AB=2r=2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的折叠类常规题型，解题的核心是通过折叠的特点找到圆心到弦的距离与半径的数量关系，结合垂径定理构造直角三角形求解，能较好地考查学生对圆的性质和几何变换的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
这是圆的折叠性质与垂径定理结合的问题，解题思路如下：首先根据折叠后弧BC过圆心O的特点，推导得出圆心O到弦BC的距离等于半径的一半；其次过O作BC的垂线，利用垂径定理得到BC一半的长度；最后在构造出的直角三角形中用勾股定理列方程求出半径，即可算出直径AB的长度。
【解析】
解：过点O作OD⊥BC于点D，连接OB。
根据垂径定理，D为BC的中点，已知BC=3，因此$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$。
由折叠的性质可知，弧BC沿BC折叠后过O点，可得圆心O到弦BC的距离OD等于半径OB的一半，即$OD=\frac{1}{2}OB$。
设$\odot O$的半径为r，则$OB=r$，$OD=\frac{1}{2}r$。
在$Rt△ ODB$中，由勾股定理得：
$OB^2=OD^2+BD^2$
代入数值：$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+(\frac{3}{2})^2$
展开计算：$r^2=\frac{1}{4}r^2+\frac{9}{4}$
移项合并得：$\frac{3}{4}r^2=\frac{9}{4}$，即$3r^2=9$，解得$r=\sqrt{3}$（半径为正，舍去负根）。
因此直径$AB=2r=2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的折叠类常规题型，解题的核心是通过折叠的特点找到圆心到弦的距离与半径的数量关系，结合垂径定理构造直角三角形求解，能较好地考查学生对圆的性质和几何变换的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
二、填空题
9. 方程$x^2=5x$的解是
9. 方程$x^2=5x$的解是
$x_1=0,x_2=5$
.答案：9. $x_1=0,x_2=5$
解析：
【分析】
本题是求解一元二次方程，解题时需注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个解。正确思路为：先将方程右边的项移到左边，使方程右边为0，再对左边的多项式提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程就能得到原方程的全部解。
【解析】
解：移项，得$x^2 - 5x = 0$，
对左边提取公因式因式分解，得$x(x - 5) = 0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 5 = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 5$。
【答案】
$x_1=0,x_2=5$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，解题的易错点是直接在方程两边除以含未知数的整式导致漏解，熟练掌握一元二次方程的求解规范即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
本题是求解一元二次方程，解题时需注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个解。正确思路为：先将方程右边的项移到左边，使方程右边为0，再对左边的多项式提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程就能得到原方程的全部解。
【解析】
解：移项，得$x^2 - 5x = 0$，
对左边提取公因式因式分解，得$x(x - 5) = 0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 5 = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 5$。
【答案】
$x_1=0,x_2=5$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，解题的易错点是直接在方程两边除以含未知数的整式导致漏解，熟练掌握一元二次方程的求解规范即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
10. 近视眼镜的度数y度与焦距x m满足反比例函数关系$y=\frac{k}{x}$，已知某同学近视的度数为400度，近视眼镜镜片的焦距为0.25 m，则k=
100
.答案：10. 100
解析：
【分析】
本题已知y与x满足反比例函数关系$y=\frac{k}{x}$，且给出了一组对应的y、x的取值，要求k的值。解题时可利用待定系数法，将已知的x、y值代入函数解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的取值。
【解析】
把$y=400$，$x=0.25$代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$中，得：
$\quad 400=\frac{k}{0.25}$
等式两边同时乘0.25，解得：
$\quad k=400×0.25=100$
【答案】
100
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求参数
【点评】
本题是基础题型，主要考查反比例函数相关的基础计算，只要掌握待定系数法的应用思路，代入数值准确计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题已知y与x满足反比例函数关系$y=\frac{k}{x}$，且给出了一组对应的y、x的取值，要求k的值。解题时可利用待定系数法，将已知的x、y值代入函数解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的取值。
【解析】
把$y=400$，$x=0.25$代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$中，得：
$\quad 400=\frac{k}{0.25}$
等式两边同时乘0.25，解得：
$\quad k=400×0.25=100$
【答案】
100
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求参数
【点评】
本题是基础题型，主要考查反比例函数相关的基础计算，只要掌握待定系数法的应用思路，代入数值准确计算即可得分。
【难度系数】
0.9
11. 写出一个解为1,3的一元二次方程：
答案不唯一,如$x^2-4x+3=0$等
。答案：11. 答案不唯一,如$x^2-4x+3=0$等
解析：
【分析】
要写出解为1和3的一元二次方程，可从一元二次方程根的意义或因式分解法解方程的逆过程思考：如果x=1和x=3是方程的根，说明当x取这两个值时方程左边的代数式值为0，因此方程左边可分解出因式(x-1)和(x-3)，将两个因式相乘等于0即可得到符合条件的方程；也可利用根与系数的关系计算方程的各项系数构造方程，且给所得方程左右两边同乘任意非零常数，根不变，因此答案不唯一。
【解析】
方法一：利用因式分解法逆推
已知方程的两个根为$x_1=1$，$x_2=3$，可得方程为$(x-1)(x-3)=0$，展开整理得：$x^2 - 4x + 3 = 0$。
方法二：利用根与系数的关系构造
设一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=1+3=4$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=1×3=3$，
令$a=1$，则$b=-4$，$c=3$，代入得方程$x^2 - 4x + 3 = 0$。
若给方程左右两边同乘任意非零实数，所得方程的根仍为1和3，因此答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$x^2-4x+3=0$等
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题为开放性基础题，考查对一元二次方程根相关知识的灵活运用，解题思路多样，只要掌握根的含义或根与系数的关系即可快速作答，构造方程时注意保证二次项系数不为0即可。
【难度系数】
0.9
要写出解为1和3的一元二次方程，可从一元二次方程根的意义或因式分解法解方程的逆过程思考：如果x=1和x=3是方程的根，说明当x取这两个值时方程左边的代数式值为0，因此方程左边可分解出因式(x-1)和(x-3)，将两个因式相乘等于0即可得到符合条件的方程；也可利用根与系数的关系计算方程的各项系数构造方程，且给所得方程左右两边同乘任意非零常数，根不变，因此答案不唯一。
【解析】
方法一：利用因式分解法逆推
已知方程的两个根为$x_1=1$，$x_2=3$，可得方程为$(x-1)(x-3)=0$，展开整理得：$x^2 - 4x + 3 = 0$。
方法二：利用根与系数的关系构造
设一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=1+3=4$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=1×3=3$，
令$a=1$，则$b=-4$，$c=3$，代入得方程$x^2 - 4x + 3 = 0$。
若给方程左右两边同乘任意非零实数，所得方程的根仍为1和3，因此答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$x^2-4x+3=0$等
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题为开放性基础题，考查对一元二次方程根相关知识的灵活运用，解题思路多样，只要掌握根的含义或根与系数的关系即可快速作答，构造方程时注意保证二次项系数不为0即可。
【难度系数】
0.9
12. 反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象在每一个象限内，图象都呈上升趋势，则$m$的取值范围是
$m＜0$
。答案：12. $m＜0$
解析：
【分析】
解决这道题首先要回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$）的图象是双曲线，当$k＞0$时，每一个象限内$y$随$x$的增大而减小，图象呈下降趋势；当$k＜0$时，每一个象限内$y$随$x$的增大而增大，图象呈上升趋势。题目明确图象在每一个象限内呈上升趋势，我们只需要对应规律让比例系数$m$满足$k＜0$的条件即可。
【解析】
根据反比例函数的性质：
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），若其图象在每一个象限内呈上升趋势，即$y$随$x$的增大而增大，则比例系数$k＜0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{m}{x}$，符合上述上升趋势的条件，因此可得$m＜0$。
【答案】
$m＜0$
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数系数的意义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对反比例函数比例系数与图象增减性对应关系的掌握，解题时要注意“在每一个象限内”这个前提条件，避免忽略范围判断出错。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$）的图象是双曲线，当$k＞0$时，每一个象限内$y$随$x$的增大而减小，图象呈下降趋势；当$k＜0$时，每一个象限内$y$随$x$的增大而增大，图象呈上升趋势。题目明确图象在每一个象限内呈上升趋势，我们只需要对应规律让比例系数$m$满足$k＜0$的条件即可。
【解析】
根据反比例函数的性质：
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），若其图象在每一个象限内呈上升趋势，即$y$随$x$的增大而增大，则比例系数$k＜0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{m}{x}$，符合上述上升趋势的条件，因此可得$m＜0$。
【答案】
$m＜0$
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数系数的意义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对反比例函数比例系数与图象增减性对应关系的掌握，解题时要注意“在每一个象限内”这个前提条件，避免忽略范围判断出错。
【难度系数】
0.9
13. 如图,海边立有两座灯塔A,B,暗礁分布在经过A,B两点的弓形(弓形的弧是$\odot O$的一部分)区域内,$∠ AOB=80°$.为了避免触礁,轮船P与灯塔A,B的张角$∠ APB$的最大值为
（第13题） （第14题） （第15题）
40
°.（第13题） （第14题） （第15题）答案：13. 40
解析：
【分析】
要避免触礁，轮船P需在弓形暗礁区域外（即⊙O外）。首先回忆相关性质：同弧所对的圆外角小于该弧所对的圆周角，因此当P处于临界位置，即刚好落在⊙O的圆周上时，∠APB取得最大值，此时∠APB是弧AB所对的圆周角，可结合已知的圆心角∠AOB的度数，用圆周角定理计算最大值。
【解析】
根据圆的相关性质：同弧所对的圆外角小于该弧所对的圆周角，因此当轮船P恰好在⊙O的圆周上（未进入弓形暗礁区的临界位置）时，∠APB取得最大值，此时∠APB为弧AB所对的圆周角。
由圆周角定理可知：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，已知∠AOB=80°是弧AB所对的圆心角，因此：
$∠ APB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理，圆外角与圆周角的大小关系
【点评】
本题结合实际应用场景考查圆周角相关性质，解题核心是找到∠APB取最大值的临界位置，再利用圆周角与圆心角的数量关系求解，需要同学们熟练掌握不同位置的点对同弧所成角的大小规律。
【难度系数】
0.7
要避免触礁，轮船P需在弓形暗礁区域外（即⊙O外）。首先回忆相关性质：同弧所对的圆外角小于该弧所对的圆周角，因此当P处于临界位置，即刚好落在⊙O的圆周上时，∠APB取得最大值，此时∠APB是弧AB所对的圆周角，可结合已知的圆心角∠AOB的度数，用圆周角定理计算最大值。
【解析】
根据圆的相关性质：同弧所对的圆外角小于该弧所对的圆周角，因此当轮船P恰好在⊙O的圆周上（未进入弓形暗礁区的临界位置）时，∠APB取得最大值，此时∠APB为弧AB所对的圆周角。
由圆周角定理可知：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，已知∠AOB=80°是弧AB所对的圆心角，因此：
$∠ APB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理，圆外角与圆周角的大小关系
【点评】
本题结合实际应用场景考查圆周角相关性质，解题核心是找到∠APB取最大值的临界位置，再利用圆周角与圆心角的数量关系求解，需要同学们熟练掌握不同位置的点对同弧所成角的大小规律。
【难度系数】
0.7
14. 如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长均为1,$△ ABC$的三个顶点都在格点上,$△ ABC$的外接圆半径的长是
$\sqrt{10}$
.答案：14. $\sqrt{10}$
解析：
【分析】
要求△ABC的外接圆半径，首先明确三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆半径。对于格点中的三角形，我们可以通过建立平面直角坐标系，先确定三个顶点的坐标，再找到两条边的垂直平分线，联立得外心坐标，最后用勾股定理计算外心到顶点的距离即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令$A(0,0)$，由格点位置得$C(2,0)$，$B(4,-4)$。
1. 求AC的垂直平分线：AC为水平线段，中点坐标为$(1,0)$，故AC的垂直平分线为直线$x=1$，设外心$P$的坐标为$(1,y)$。
2. 根据外心性质$PA=PB$，由勾股定理列方程：
$PA^2=(1-0)^2+(y-0)^2=1+y^2$
$PB^2=(4-1)^2+(-4-y)^2=9+(y+4)^2$
3. 解方程：
$1+y^2=9+y^2+8y+16$
化简得：$8y=-24$，解得$y=-3$
4. 计算外接圆半径：
外心$P(1,-3)$，则$PA=\sqrt{(1-0)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
三角形外接圆性质，垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题属于格点几何常见题型，考查三角形外接圆半径的求解，解题时可灵活选择坐标法或正弦定理求解，其中坐标法思路直观，容易上手，核心是抓住外心到各顶点距离相等的性质列方程求解。
【难度系数】
0.6
要求△ABC的外接圆半径，首先明确三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆半径。对于格点中的三角形，我们可以通过建立平面直角坐标系，先确定三个顶点的坐标，再找到两条边的垂直平分线，联立得外心坐标，最后用勾股定理计算外心到顶点的距离即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令$A(0,0)$，由格点位置得$C(2,0)$，$B(4,-4)$。
1. 求AC的垂直平分线：AC为水平线段，中点坐标为$(1,0)$，故AC的垂直平分线为直线$x=1$，设外心$P$的坐标为$(1,y)$。
2. 根据外心性质$PA=PB$，由勾股定理列方程：
$PA^2=(1-0)^2+(y-0)^2=1+y^2$
$PB^2=(4-1)^2+(-4-y)^2=9+(y+4)^2$
3. 解方程：
$1+y^2=9+y^2+8y+16$
化简得：$8y=-24$，解得$y=-3$
4. 计算外接圆半径：
外心$P(1,-3)$，则$PA=\sqrt{(1-0)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
三角形外接圆性质，垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题属于格点几何常见题型，考查三角形外接圆半径的求解，解题时可灵活选择坐标法或正弦定理求解，其中坐标法思路直观，容易上手，核心是抓住外心到各顶点距离相等的性质列方程求解。
【难度系数】
0.6
15. 如图,在一幅长为80 cm、宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图.要使整个挂图的面积是5 400 cm²,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是
$(2x+80)(2x+50)=5400$
.答案：15. $(2x+80)(2x+50)=5400$
解析：
【分析】
解题时首先明确等量关系：镶边后整个矩形挂图的面积为5400 cm²，而矩形面积=长×宽，因此需要先求出镶边后挂图的长和宽。由于金色纸边四周宽度均为x cm，因此原风景画的长、宽方向都需要分别加上左右、上下两段纸边的宽度，即各加2x，再代入面积公式即可列出方程。
【解析】
解：已知金色纸边的宽为x cm，
1. 计算镶边后挂图的长：原风景画长为80 cm，左右两侧各有x cm宽的纸边，因此挂图的长为$(80 + 2x)$ cm；
2. 计算镶边后挂图的宽：原风景画宽为50 cm，上下两侧各有x cm宽的纸边，因此挂图的宽为$(50 + 2x)$ cm；
3. 根据矩形面积公式，结合挂图总面积为5400 cm²，列方程得：
$(2x+80)(2x+50)=5400$
【答案】
$(2x+80)(2x+50)=5400$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何场景中的基础应用，解题的关键是准确表示出镶边后矩形的长和宽，要注意纸边在四周均有分布，长和宽都需要加2倍的纸边宽度，避免出现只加1倍x的常见错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确等量关系：镶边后整个矩形挂图的面积为5400 cm²，而矩形面积=长×宽，因此需要先求出镶边后挂图的长和宽。由于金色纸边四周宽度均为x cm，因此原风景画的长、宽方向都需要分别加上左右、上下两段纸边的宽度，即各加2x，再代入面积公式即可列出方程。
【解析】
解：已知金色纸边的宽为x cm，
1. 计算镶边后挂图的长：原风景画长为80 cm，左右两侧各有x cm宽的纸边，因此挂图的长为$(80 + 2x)$ cm；
2. 计算镶边后挂图的宽：原风景画宽为50 cm，上下两侧各有x cm宽的纸边，因此挂图的宽为$(50 + 2x)$ cm；
3. 根据矩形面积公式，结合挂图总面积为5400 cm²，列方程得：
$(2x+80)(2x+50)=5400$
【答案】
$(2x+80)(2x+50)=5400$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何场景中的基础应用，解题的关键是准确表示出镶边后矩形的长和宽，要注意纸边在四周均有分布，长和宽都需要加2倍的纸边宽度，避免出现只加1倍x的常见错误。
【难度系数】
0.8
6.已知$x=-1$是关于$x$的方程$2x^2 -ax -a^2=0$的一个根，则$a=$
$a_1=2,a_2=-1$
答案：16. $a_1=2,a_2=-1$
解析：
【分析】
本题考查方程根的定义的应用，解题思路如下：第一步，根据方程根的定义，若一个数是方程的根，将其代入方程后等式左右两边相等，因此可将x=-1代入原方程，得到关于a的方程；第二步，整理得到关于a的一元二次方程，用因式分解法解方程即可求出a的取值。
【解析】
∵$x=-1$是方程$2x^2 -ax -a^2=0$的一个根
∴将$x=-1$代入方程，等式成立，即：
$2×(-1)^2 -a×(-1) -a^2=0$
计算得：$2 + a - a^2 = 0$
整理为一元二次方程的标准形式：$a^2 - a - 2 = 0$
对左侧因式分解：$(a - 2)(a + 1) = 0$
∴$a - 2 = 0$ 或 $a + 1 = 0$
解得：$a_1=2$，$a_2=-1$
【答案】
$a_1=2,a_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心是理解方程根的意义，代入后转化为关于参数的一元二次方程求解即可，解题时要注意符号运算的准确性，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题考查方程根的定义的应用，解题思路如下：第一步，根据方程根的定义，若一个数是方程的根，将其代入方程后等式左右两边相等，因此可将x=-1代入原方程，得到关于a的方程；第二步，整理得到关于a的一元二次方程，用因式分解法解方程即可求出a的取值。
【解析】
∵$x=-1$是方程$2x^2 -ax -a^2=0$的一个根
∴将$x=-1$代入方程，等式成立，即：
$2×(-1)^2 -a×(-1) -a^2=0$
计算得：$2 + a - a^2 = 0$
整理为一元二次方程的标准形式：$a^2 - a - 2 = 0$
对左侧因式分解：$(a - 2)(a + 1) = 0$
∴$a - 2 = 0$ 或 $a + 1 = 0$
解得：$a_1=2$，$a_2=-1$
【答案】
$a_1=2,a_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心是理解方程根的意义，代入后转化为关于参数的一元二次方程求解即可，解题时要注意符号运算的准确性，避免漏解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
17. 解方程：$x^2 -4x=0$.
18. 解方程：$2x^2 -5x +1=0$.
17. 解方程：$x^2 -4x=0$.
18. 解方程：$2x^2 -5x +1=0$.
答案：17. $x_1=0,x_2=4$
18. $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
18. $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
解析：
【分析】
17题：观察方程$x^2 -4x=0$，左边两项含有公因式$x$，优先选用因式分解法求解，将方程左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，即可转化为一元一次方程求解。
18题：观察方程$2x^2 -5x +1=0$，无法直接因式分解，选用通用的公式法求解：先确定方程各项系数$a、b、c$，再计算根的判别式$\Delta$判断根的情况，最后代入求根公式计算即可。
【解析】
17. 解：对$x^2 -4x=0$因式分解得：
$x(x-4)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-4=0$
解得：$x_1=0，x_2=4$
18. 解：在方程$2x^2 -5x +1=0$中，$a=2，b=-5，c=1$
先计算根的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=25-8=17＞0$
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$
即$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}，x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
【答案】
17. $x_1=0,x_2=4$
18. $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 公式法解一元二次方程
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
这两道是一元二次方程求解的基础常规题，分别考查了两种常见的解方程方法，同学们需熟练掌握不同解法的适用条件，计算时注意系数符号、判别式运算的准确性即可得分。
【难度系数】
0.8
17题：观察方程$x^2 -4x=0$，左边两项含有公因式$x$，优先选用因式分解法求解，将方程左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，即可转化为一元一次方程求解。
18题：观察方程$2x^2 -5x +1=0$，无法直接因式分解，选用通用的公式法求解：先确定方程各项系数$a、b、c$，再计算根的判别式$\Delta$判断根的情况，最后代入求根公式计算即可。
【解析】
17. 解：对$x^2 -4x=0$因式分解得：
$x(x-4)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-4=0$
解得：$x_1=0，x_2=4$
18. 解：在方程$2x^2 -5x +1=0$中，$a=2，b=-5，c=1$
先计算根的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=25-8=17＞0$
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$
即$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}，x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
【答案】
17. $x_1=0,x_2=4$
18. $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 公式法解一元二次方程
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
这两道是一元二次方程求解的基础常规题，分别考查了两种常见的解方程方法，同学们需熟练掌握不同解法的适用条件，计算时注意系数符号、判别式运算的准确性即可得分。
【难度系数】
0.8