10.
最少需要3根铁管（将六边形铁架ABCDEF分成3个三角形铁架）

11. 180（n'－2）=1260
解得n'=9
则截去一个角后成为9边形
①在相邻两边上切：n=n'－1=8
②在一角和一边上切：n=n'=9
③在两角上切：n=n'+1=10

12.（1）延长BO交AC于D，延长CO交AB于E
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠ABC+∠ACB＝180°－∠A
∵BO平分∠ABC
∴∠ABD＝1/2∠ABC
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠A+1/2∠ABC
又∵CO平分∠ACB
∴∠ACE＝1/2∠ACB
∴∠BOC＝∠BDC+∠ACE＝∠A+1/2∠ABC+1/2∠ACB
=∠A+1/2（∠ABC+∠ACB）＝∠A+1/2（180°－∠A）
＝90°+1/2∠A
①∵∠A＝40°
∴∠BOC＝90°+1/2×40°＝110°
②∵∠A＝n°
∴∠BOC＝（90+n/2）°
（2）∵C'O'平分∠A'C'D
∴∠O'C'D＝1/2∠A'C'D
又∵∠A'C'D＝∠A'+∠A'B'C'
∴∠O'C'D＝1/2（∠A'+∠A'B'C'）
∵B'O'平分∠A'B'C'
∴∠O'B'C'＝1/2∠A'B'C'
∵∠O'C'D＝∠O'+∠O'B'C'
∴∠O'C'D＝∠O'+1/2∠A'B'C'
∴∠O'+1/2∠A'B'C'＝1/2（∠A'+∠A'B'C'）
∴∠O'＝1/2∠A'

13.（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° （将∠A，∠B，∠C，∠D，∠E这5个角集中在一个三角形里面，∠A是这个三角形本身的内角，∠B与∠D之和等于这个三角形的第二个角，∠C与∠E之和等于这个三角形的第三个角，即三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，则得出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° ）
（2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°
（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=1080°

10.
最少需要3根铁管（将六边形铁架ABCDEF分成3个三角形铁架）

11. 180（n'－2）=1260
解得n'=9
则截去一个角后成为9边形
①在相邻两边上切：n=n'－1=8
②在一角和一边上切：n=n'=9
③在两角上切：n=n'+1=10

12.（1）延长BO交AC于D，延长CO交AB于E
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠ABC+∠ACB＝180°－∠A
∵BO平分∠ABC
∴∠ABD＝1/2∠ABC
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠A+1/2∠ABC
又∵CO平分∠ACB
∴∠ACE＝1/2∠ACB
∴∠BOC＝∠BDC+∠ACE＝∠A+1/2∠ABC+1/2∠ACB
=∠A+1/2（∠ABC+∠ACB）＝∠A+1/2（180°－∠A）
＝90°+1/2∠A
①∵∠A＝40°
∴∠BOC＝90°+1/2×40°＝110°
②∵∠A＝n°
∴∠BOC＝（90+n/2）°
（2）∵C'O'平分∠A'C'D
∴∠O'C'D＝1/2∠A'C'D
又∵∠A'C'D＝∠A'+∠A'B'C'
∴∠O'C'D＝1/2（∠A'+∠A'B'C'）
∵B'O'平分∠A'B'C'
∴∠O'B'C'＝1/2∠A'B'C'
∵∠O'C'D＝∠O'+∠O'B'C'
∴∠O'C'D＝∠O'+1/2∠A'B'C'
∴∠O'+1/2∠A'B'C'＝1/2（∠A'+∠A'B'C'）
∴∠O'＝1/2∠A'

13.（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° （将∠A，∠B，∠C，∠D，∠E这5个角集中在一个三角形里面，∠A是这个三角形本身的内角，∠B与∠D之和等于这个三角形的第二个角，∠C与∠E之和等于这个三角形的第三个角，即三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，则得出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° ）
（2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°
（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=1080°