1.证明：延长AE到F，使EF=AE，连接DF
∵BE=DE
∠AEB=∠FED
AE=EF
∴△ABE≌△FDE（SAS）
∴AB=DF，∠B=∠FDE
∵CD=AB
∴CD=DF
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADF=∠FDE+∠ADB
又∵∠ADB=∠BAD
∴∠ADC=∠ADF
∵AD=AD
∴△ADC≌△ADF（SAS）
∴AC=AF=AE+EF=2AE

2.证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠C= 90°，∠ABC=30°
∴∠BAC=60°
∵AD平分∠BAC
∴∠EAB=30°
即在△ABE中，∠EBA=∠EAB=30°
∴△ABE是等腰三角形
∴AE=BE
（2）∵∠C= 90°，∠EAC=30°
∴AE=2CE
∴BE=2CE
∵BD∥AC
∴∠DBE=∠C=90°，∠D=∠EAC=30°
∴DE=2BE
∴DE=BE+2CE=BE+CE+CE=BC+CE

3.证明：在FG上取点H,使FH＝BF,连接EH
∵EF⊥BC,FH＝BF
∴EF垂直平分BH
∴BE＝HE
∴∠B＝∠BHE
∵∠B＝∠ACB
∴∠BHE＝∠ACB
∴AC∥EH
∴∠HEG＝∠D,∠EHG＝∠DCG
∵BE＝CD
∴EH＝CD
∴△EHG≌△DCG （ASA）
∴CG＝HG
∵FG＝FH+HG
∴FG＝BF+CG
∴2FG＝FH+HG+BF+CG
∴BC＝2FG

4.证明：延长AD、BC交于点F
在△ABD和△FBD中
∠ADB = ∠FDB= 90°
BD为公共边
∠ABD = ∠FBD
∴△ABD ≌ △FBD
∴AD = FD
即AF = 2AD
在△CBE和△CAF中
∠CBE = 90°－∠AFB = ∠CAF
BC = AC
∠BCE = ∠ACF = 90°
∴△CBE ≌ △CAF
∴BE = AF
则BE = 2AD

1.证明：延长AE到F，使EF=AE，连接DF
∵BE=DE
∠AEB=∠FED
AE=EF
∴△ABE≌△FDE（SAS）
∴AB=DF，∠B=∠FDE
∵CD=AB
∴CD=DF
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADF=∠FDE+∠ADB
又∵∠ADB=∠BAD
∴∠ADC=∠ADF
∵AD=AD
∴△ADC≌△ADF（SAS）
∴AC=AF=AE+EF=2AE

2.证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠C= 90°，∠ABC=30°
∴∠BAC=60°
∵AD平分∠BAC
∴∠EAB=30°
即在△ABE中，∠EBA=∠EAB=30°
∴△ABE是等腰三角形
∴AE=BE
（2）∵∠C= 90°，∠EAC=30°
∴AE=2CE
∴BE=2CE
∵BD∥AC
∴∠DBE=∠C=90°，∠D=∠EAC=30°
∴DE=2BE
∴DE=BE+2CE=BE+CE+CE=BC+CE

3.证明：在FG上取点H,使FH＝BF,连接EH
∵EF⊥BC,FH＝BF
∴EF垂直平分BH
∴BE＝HE
∴∠B＝∠BHE
∵∠B＝∠ACB
∴∠BHE＝∠ACB
∴AC∥EH
∴∠HEG＝∠D,∠EHG＝∠DCG
∵BE＝CD
∴EH＝CD
∴△EHG≌△DCG （ASA）
∴CG＝HG
∵FG＝FH+HG
∴FG＝BF+CG
∴2FG＝FH+HG+BF+CG
∴BC＝2FG

4.证明：延长AD、BC交于点F
在△ABD和△FBD中
∠ADB = ∠FDB= 90°
BD为公共边
∠ABD = ∠FBD
∴△ABD ≌ △FBD
∴AD = FD
即AF = 2AD
在△CBE和△CAF中
∠CBE = 90°－∠AFB = ∠CAF
BC = AC
∠BCE = ∠ACF = 90°
∴△CBE ≌ △CAF
∴BE = AF
则BE = 2AD