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解：​$(1)$​设该班的学生人数为​$x$​
由题意可得​$3x+20=4x-25$​
解得​$x=45$​
答：该班的学生人数为​$45。$​
​$(2)$​设购买甲种树苗​$y$​棵，则购买乙种树苗​$(3×45+20-y)$​棵
由题意得​$30y+40(3×45+20-y)≤5400$​
解得​$y≥80$​
​$∴y$​的最小值为​$80$​
答：至少购买了甲树苗​$80$​棵。
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