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第127页

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$解：因为四边形ABCD是矩形$

$所以AD//BC，∠B=90°$

$所以∠DAP=∠AMB$

$因为DP⊥AM.$

$所以∠DPA=∠B= 90°$

$所以△ABM∽△DPA$

$所以\frac {AB}{AM}=\frac {DP}{AD}$

$因为AM=5 ， AB=4 ， AD=6$

$所以\frac {4}{5}=\frac {DP}{6}$

$所以DP=\frac {24}{5}$

$解：作AH⊥BC于H，$

$则AH//DE，DG//BC$

$所以\frac {DE}{AH}=\frac {BD}{AB}=1-\frac {AD}{AB}=1-\frac {DG}{BC}$

$BC=\sqrt{12²+16²}=20\ \mathrm {cm}，AH=\frac {12×16}{20}=\frac {48}{5}\ \mathrm {cm}$

$设DE= 3x\ \mathrm {cm}，$

$则DG= EF = 5x\ \mathrm {cm}$

$所以\frac {3x}{\frac {48}{5}}=1-\frac {5x}{20}$

$解得x=\frac {16}{9}$

$所以矩形DEFG的周长= 2(DE+ DG)= 16x= \frac {256}{9}\ \mathrm {cm} .$

$证明： (1)因为AB是○O的直径$

$所以∠ACB =90°$

$所以∠CAB+∠B=90°$

$因为CD⊥AB$

$所以∠CDA= 90°$

$所以∠CAB+∠ACD=90°$

$所以∠B=∠ACD$

$因为∠B=∠F$

$所以∠ACD=∠F$

$(2)因为∠ACD=∠F ，∠CAG=∠CAF$

$所以△ACG∽△AFC$

$所以\frac {AC}{AF}=\frac {AG}{AC}$

$所以AC²= AG×AF$