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第37页

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$证明∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴AD=BC，AD//BC，BO=DO$

$∴∠ADE=∠CBF$

$∵OE=OF$

$∴DE=BF$

$在△ADE和△CBF中$

$\begin{cases}{AD=CB} \\ {∠ADE=∠CBF}\\{DE=BF}\end{cases}$

$∴△ADE≌CBF(SAS)$

$∴AE=CF$

$证明：∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴AD//BC，AB//CD$

$∴∠DAC=∠BCA$

$∵△ADE≌△CBF$

$∴∠DAE=∠BCF$

$∴∠EAO=∠FCO$

$∴AG//HC$

$∵AH//CG$

$∴四边形AHCG是平行四边形$

$∴AH=CG$

$解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC$

$点E 恰好在AC上$

$∴CA=CD$

$∠ECD=∠BCA=30°$

$∠DEC=∠ABC=90°$

$∴∠CAD=∠CDA=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$

$∴∠ADE=90°-75°=15°$

$证明：连接AD$

$∵∠ABC=90°，F是边AC的中点$

$∴CF=BF= \frac{1}{2}AC$

$∵∠ACB=30°$

$∴AB=\frac{1}{2}AC$

$∴CF=BF=AB$

$∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC$

$∴∠BCE=∠ACD=60°，AC=CD，CB=CE，DE=AB$

$∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形$

$∴BE=CB$

$∵F为AC的中点$

$∴DF⊥AC$

$∴∠DFC=∠ABC=90°$

$在Rt△DFC和Rt△CBA中$

$\begin{cases}{CF=AB} \\ {CD=AC}\end{cases}$

$∴Rt△DFC≌Rt△CBA( HL)$

$∴DF=BC$

$∴DF=BE$

$又∵BF=DE$

$∴四边形BEDF是平行四边形$