第45页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

$解：∵∠EBF=∠OBC=60°$

$ ∴∠OBE=∠CBF$

$ ∵∠BOE=∠C=60°，BO=BC$

$ ∴△BOE≌BCF(ASA)$

$ ∴OE=CF，BE=BF$

$ ∴OE+OF=CF+FO=OC=6$

$ ∴BE+BF的值最小时，四边形OEBF的周长最小。$

$ 根据垂线段最短可知，当BE⊥OA，BF⊥OC时，$

$BE+BF的值最小，为2\sqrt{27}，此时满足∠EBF=60°。$

$ ∴四边形OEBF周长的最小值为6+2\sqrt{27}。$

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$解：由(1)知AB=BE$

$∴当∠BAE=45°时，∠AEB=45°，∠ABE=90°$

$∴△ABE是等腰直角三角形$

$又∵BG⊥AE$

$∴AG=EG=BG=\frac{1}{2}AE=\frac{5}{2}$

$由(1)可得，∠BFG=30°$

$∴在Rt△BFG中，BF=2BG=5$

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$证明：作BG⊥AE于点G，设CE交BM于点N$

$∵点E、C关于BM对称$

$∴BC=BE，FE=FC$

$∴BM垂直平分CE$

$∴∠BNE=90°，∠3=∠4$

$∵在菱形ABCD中，AB=BC，∠BAD=60°$

$∴AB=BE，∠ABC=120°$

$又∵BG⊥AE$

$∴∠1=∠2，∠BGE=90°$

$∴∠2+∠3=\frac{1}{2}∠ABC=60°$

$∴四边形BNEG，∠NEG=360°-90°-90°-60°=120°$

$∴∠CEF=60°$

$又∵FE=FC$

$∴△EFC是等边三角形$

$证明：连接AC$

$∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°$

$∴AB=BC，AD=CD，∠B=∠D=60°$

$∴△ABC，△ACD为等边三角形$

$∴∠4=60°，AC=AB，∠BAC=∠DAC=60°$

$∴∠1+∠EAC=60°$

$∵△AEF是等边三角形$

$∴∠EAF=60°$

$∴∠3+∠EAC=60°$

$∴∠1=∠3$

$在△ABE和△ACF中$

$\begin{cases}{∠1=∠3} \\ {AB=AC}\\{∠B=∠4}\end{cases}$

$∴△ABE≌△ACF(ASA)$

$∴BE=CF$

$解：四边形AECF的面积不变$

$理由：由(1)得△ABE≌△ACF$

$则S_{△ABE}=S_{△ACF}$

$故S_{四边形AECF}=S_{△AEC}+S_{△ACF}=S_{△AEC}+S_{△ABE}=S_{△ABC}，是定值$

$作AH⊥BC于点H$

$∵∠B=60°$

$∴∠BAH=30°$

$∴BH=\frac{1}{2}AB=2，AH =\sqrt{AB^2-BH^2}= \sqrt{12}$

$S_{四边形AECF}=S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AH=2 \sqrt{12}=4\sqrt3$

$解：连接PA、PC、PB，延长CB交OD于点P'，连接AP'$

$∵四边形OABC是菱形，∠OCB=60°$

$∴AO=AB=OC=BC$

$∠OAB=∠OCB=60°$

$∴△OAB、△OBC都是等边三角形$

$∴OA=OB$

$∵OD平分∠AOB$

$∴OD⊥AB，AD=DB$

$∴PA=PB$

$∴PC-PA=PC-PB≤BC$

$∴当点P与点P'重合时，|PC-PA|取最大值$

$∵∠COB=60°，∠DOB=30°$

$∴∠COP'=90°$

$∵OC=OB=6，∠OCP'=60°$

$∴CP'=12，OP'= \sqrt{108}$

$∴当|PC-PA|取最大值时，OP的长为 \sqrt{108}。$