第55页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

解：△FCG是等腰直角三角形。理由如下:

∵BC=AB=EG

∴BE=CG

∴CG=FG

又∵∠EGF=90°

∴△FCG是等腰直角三角形

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EF=CF-AE或EF=AE-CF

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$解：由旋转得QC=PA=1$

$在△QPC中，(\sqrt{8})^2+1^2=3^2，即{PQ}^2+{QC}^2={PC}^2$

$∴△QPC为直角三角形，∠PQC=90°$

$∵△PBQ是等腰直角三角形，$

$∴∠PQB=45°$

$∴∠PQC+∠PQB=∠BQC=∠APB=135°$

$证明：∵∠AEF=90°$

$∴∠AEB+∠GEF=90°$

$又∵四边形ABCD是正方形$

$∴∠ABE=90°$

$∴∠AEB+∠BAE=90°$

$∴∠GEF=∠BAE$

$又∵FG⊥BC$

$∴∠EGF=90°$

$在△ABE和△EGF中$

$\begin{cases}{∠ABE=∠EGF}\\{∠BAE=∠GEF}\\{AE=EF}\end{cases}$

$∴△ABE≌△EGF(AAS)$

$解：由(1)知△ABE≌△EGF$

$∴AB=EG，BE=GF$

$设EC=x，则BE=GF=2EC=2x $

$∵S_{△ECF}=4$

$∴\frac{1}{2}x·2x=4，解得x=2$

$∴AB=BC=3x=6$

$证明：延长BA到点G，使AG=CF，连接DG$

$∵四边形ABCD是正方形$

$∴DA=DC$

$∠DAB=∠DCF=90°$

$∴∠DAG=90°$

$∴△DAG≌△DCF$

$∴∠GDA=∠FDC$

$DG=DF$

$∵∠ADC=90°$

$∠EDF=45° $

$∴∠EDG=∠ADG+∠ADE=∠FDC+∠ADE=45°$

$在△DEG和△DEF中$

$\begin{cases}{DE=DE}\\{∠EDG=∠EDF}\\{DG=DF}\end{cases}$

$∴△DEG≌△DEF(SAS) $

$∴EF=EG=AE+AG=AE+CF$

$解：∵四边形ABCD是正方形$

$∴∠ABC=90°$

$∵△ABP≌△CBQ$

$∴∠ABP=∠CBQ$

$∴∠PBQ=∠ABC=90°$

$∵PB=BQ=2$

$∴PQ= \sqrt{PB^2+BQ^2}=\sqrt8$