第54页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

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$解：作DG⊥AE于点G，如图②$

$由(2)可知，Rt△AEB≌Rt△DGA $

$由将 Rt△ABE绕点B 按顺时针方向旋转 90°$

$得 Rt△CBE'可知：Rt△AEB≌Rt△CE'B$

$∴Rt△AEB≌Rt△DGA ≌Rt△CE'B$

$∴DG=AE=CE'$

$∵S_{△ADE}=72= \frac{1}{2} DG·AE$

$设AE=x，则DG= \frac{144}{x}$

$∴由AE=DG，得x= \frac{144}{x}，解得x=12$

$∴DG=AE=CE'=12$

$∵四边形ABCD是正方形$

$∴AB=BC=15$

$在Rt△ BE中， BE=\sqrt{AB^2-AE^2}= \sqrt{15^2-12^2}=9$

$∵四边形BE'FE是正方形，∴BE=E'F=9$

$∵CF+E'F=CE'$

$∴CF=CE'-E'F=12-9=3$

$证明：①当正方形A_1B_1C_1O绕点O转动到其边OA_1，OC_1 分别与正方形ABCD的两条对角线重合这一特殊位置时,$

$显然,S_{两个正方形重叠部分}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}$

$②当正方形A_1B_1C_1O绕点O转动到如题图位置时$

$∵四边形ABCD为正方形$

$∴∠OAB=∠OBF=45°$

$OA=OB，BO⊥AC$

$∴∠AOE+∠EOB=90°$

$又∵四边形A_1B_1C_1O为正方形$

$∴∠A_1OC_1=90°$

$即∠BOF+∠EOB=90°$

$∴∠AOE=∠BOF$

$在△AOE和△BOF中$

$\begin{cases}{∠AOE=∠BOF}\\{AO=BO}\\{∠OAE=∠OBF}\end{cases}$

$∴△AOE≌△BOF(ASA)$

$∴S_{△AOE}=S_{△BOF}$

$∵S_{两个正方形重叠部分}=S_{△BOE}+S_{△BOF}$

$∴S_{两个正方形重叠部分}=S_{△ABO}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}$

$综上所述，无论正方形A_1B_1C_1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的\frac{1}{4}。$

$解：四边形BE'FE是正方形$

$理由如下： $

$∵将 Rt△ABE绕点 B 按顺时针方向旋转 90°$

$得到△CBE'$

$∴∠AEB=∠CE'B=90°$

$BE=BE'$

$∠EBE'=90°$

$∵∠BEF=90°$

$∴四边形BE'FE是正方形$

$解：CF=FE'$

$证明如下：如图①，过点D作DH⊥AE于点H$

$∵DA=DE，DH⊥AE，$

$∴AH=\frac{1}{2}AE，∠ADH+∠DAH=90°$

$∵四边形ABCD是正方形$

$∴AD=AB，∠DAB=90°，$

$∴∠DAH+∠EAB=90°$

$∴∠ADH=∠EAB$

$∵AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°$

$∴△ADH≌△BAE(AAS)$

$∴AH=HE=BE=\frac{1}{2}AE$

$∵四边形BE'FE是正方形$

$∴BE=E'F$

$∴E'F=AH=\frac{1}{2}AE$

$∵将 Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°$

$得到△CBE'$

$∴AE=CE'$

$∴E'F=\frac{1}{2}CE'$

$∴CF=FE'$