第57页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

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$解：∵菱形ABCD的面积为2， $

$∴S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}BD·AC=\frac{1}{2}×2DO·AC=2$

$∴DO·AC=2$

$∵四边形OCED为矩形$

$∴DO=EC，∠ACE=90°$

$∴S_{△AEC}=\frac{1}{2}EC·AC=\frac{1}{2}DO·AC=2×\frac{1}{2}=1，即△AEC的面积为1。$

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$证明：在△AOE和△COD中$

$\begin{cases}{∠EAO=∠DCO}\\{OA=OC}\\{∠EOA=∠DOC}\end{cases}$

$∴△AOE≌△COD(\mathrm {ASA})$

$证明：∵△AOE≌△COD$

$∴OD=OE$

$又∵AO=CO$

$∴四边形AECD是平行四边形$

$又∵AB=BC，AO=CO$

$∴OB⊥AC$

$∴平行四边形AECD是菱形$

$证明：∵四边形ABCD是菱形$

$∴CO=\frac{1}{2}AC$

$∠COD=90°$

$∵DE=\frac{1}{2}AC$

$∴DE=CO$

$又∵DE//AC$

$∴四边形OCED为平行四边形$

$∵∠COD=90°$

$∴四边形OCED为矩形$

$解：由题意，得BQ=DP=t，则AP=CQ=6-t$

$∵四边形ABCD是矩形$

$∴∠B=90°$

$AD//BC$

$∴当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形$

$∴t=6-t$

$解得t=3$

$故当t=3时，四边形ABQP为矩形$

$解：由(1)可知，四边形AQCP为平行四边形，$

$∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形$

$在Rt△ABQ中，$

$AQ=\sqrt{AB^2+BQ^2}= \sqrt{3^2+t^2}$

$∴ \sqrt{3^2+t^2}=6-t时，$

$四边形AQCP为菱形，解得t=\frac{9}{4}$

$故当t=\frac{9}{4}时，四边形AQCP为菱形$

$证明：∵四边形ABCD是正方形$

$∴∠D=∠A=90°$

$∴∠AEH+∠AHE=90°$

$∵四边形EFGH是菱形$

$∴HG=HE$

$在Rt△HDG和Rt△EAH中$

$\begin{cases}{HG=EH}\\{DG=AH}\end{cases}$

$∴Rt△HDG≌Rt△EAH(\mathrm {HL})$

$∴∠DHG=∠AEH$

$∴∠DHG+∠AHE=90°$

$∴∠GHE=90°$

$∴菱形EFGH为正方形$

$解：过点F作FM⊥CD，$

$交DC的延长线于点M，连接GE$

$∵四边形ABCD是正方形$

$∴∠A=90°$

$CD//AB$

$∴∠AEG=∠MGE$

$∵四边形EFGH是菱形$

$∴GF//HE$

$HE=GF$

$∴∠HEG=∠FGE$

$∴∠AEH=∠FGM$

$∵FM⊥CD$

$∴∠M=90°$

$∴∠M=∠A$

$在△EHA和△GFM中$

$\begin{cases}{∠A=∠M}\\{∠AEH=∠MGF}\\{HE=FG}\end{cases}$

$∴△EHA≌△GFM(AAS)$

$∴MF=AH=2$

$设DG=x$

$∴CG=6-x$

$∴S_{△FCG}=\frac{1}{2}CG·FM=6-x=1$

$∴x=5$

$即DG=5$

$故线段DG的长度为5。$