零五网 › 全部参考答案› 启东中学作业本 › 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册） › 第61页

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AB=CD

$解：设MN交BD于点K，MQ交AC于点J$

$ ∵MN//AC$

$MQ//BD$

$ ∴四边形MKOJ是平行四边形$

$ ∴∠NMQ=∠DOC$

$ ∵由(1)知△AEC≌△DEB$

$ ∴∠ACE=∠DBE$

$ ∴∠COB=∠CEB=60°$

$ ∴∠DOC=120°$

$ ∴∠NMQ=120°$

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$解：(1)证明：连接MP、NP、MQ、NQ$

$∵P、M分别是AD、BD的中点$

$∴PM=\frac{1}{2}AB$

$PM//AB$

$同理NQ=\frac{1}{2}AB$

$NQ//AB$

$∴PM//NQ$

$PM=NQ$

$∴四边形PMQN是平行四边形$

$∴PQ、MN互相平分。$

$解：延长CF交 B于点G$

$∵AE平分∠BAC$

$∴∠GAF=∠CAF$

$∵CF⊥AE$

$∴∠AFG=∠AFC=90°$

$又∵AF=AF$

$∴△AFG≌△AFC(ASA)$

$∴AG=AC$

$GF=CF$

$又∵D是BC的中点$

$∴DF是△CBG的中位线$

$∴DF=\frac{1}{2}BG=\frac{1}{2}(AB-AG )=\frac{1}{2}(AB-AC)=2$

$解：四边形PQMN为菱形。$

$证明如下：连接BD、AC交于点O$

$∵△ADE、△ECB是等边三角形$

$∴AE=DE$

$EC=BE$

$∠AED=∠BEC=60°$

$∴∠AEC=∠DEB=120°$

$在△AEC和△DEB中$

$\begin{cases}{AE=DE}\\{∠AEC=∠DEB}\\{EC=EB}\end{cases}$

$∴△AEC≌△DEB(SAS)$

$∴AC=BD$

$∵M、N分别是CD、AD的中点$

$∴MN是△ACD的中位线$

$即MN=\frac{1}{2}AC$

$同理可得NP=\frac{1}{2} DB$

$QP=\frac{1}{2}AC$

$MQ=\frac{1}{2}BD$

$∴MN=NP=PQ=MQ$

$∴四边形PQMN是菱形。$