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BD=2AB
​$​解：由(1)得四边形OEFG是矩形​$​
​$​∴OE=FG=5​$​
​$​∵四边形ABCD是菱形​$​
​$​∴AD=CD，AC⊥BD​$​
​$​∴∠AOD=90°​$​
​$​∵E是AD的中点​$​
​$​∴OE=\frac{1}{2}AD=DE=5​$​
​$​∴CD=AD=2OE=10​$​
​$​在Rt△DEF中，DF= \sqrt{DE^2-EF^2}= \sqrt{5^2-4^2}=3​$​
​$​∴CG=CD-FG-DF=10-5-3=2​$​
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$证明：∵G、F分别为AD、DO的中点$
$∴GF为△AOD的中位线$
$∴GF//OA$
$GF=\frac{1}{2}OA$
$同理可得EH//OC$
$EH=\frac{1}{2}OC$
$∵四边形ABCD是平行四边形$
$∴OA=OC$
$∴EH//GF,EH=GF$
$∴四边形GEHF是平行四边形$
$解：BD=2AB $
$理由：连接GH$
$∵四边形ABCD是平行四边形$
$∴AD//BC$
$AD=BC$
$OB=OD$
$∵G、H分别是AD、BC的中点$
$∴AG=BH$
$AG//BH$
$∴四边形ABHG是平行四边形$
$∴AB=GH$
$∵E、O、F分别是BD的四等分点$
$∴BE=OE=OF=DF$
$∴BD=2EF$
$∵BD=2AB$
$∴EF=AB$
$∴GH=EF$
$∴平行四边形GEHF是矩形。$
$证明：∵四边形ABCD是菱形$
$∴OA=OC$
$∵E是AD的中点$
$∴OE是△ACD的中位线$
$∴OE//CD$
$∵OG//EF$
$∴四边形OEFG是平行四边形$
$∵EF⊥CD$
$∴∠EFG=90°$
$∴平行四边形OEFG是矩形。$
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