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​$解：四边形ACEF不可能是正方形。理由如下:$​
​$ ∵∠ACB=90°，∠ACE<∠ACB$​
​$ ∴∠ACE<90°，不能为直角$​
​$ ∴四边形ACEF不可能是正方形$​
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$证明：在矩形EFGH中，EH=FG，EH//FG$
$∴∠GFH=∠EHF $
$∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF$
$∴∠BFG=∠DHE 在菱形ABCD中，AD//BC$
$∴∠GBF=∠EDH$
$∴△BGF≌△DEH(AAS)$
$∴BG=DE$
$解：如图，连接EG$
$在菱形ABCD中，AD//BC，AD=BC$
$∵E为AD的中点$
$∴AE=ED$
$由(1)知，BG=DE$
$∴AE=BG$
$又∵AE//BG$
$∴四边形ABGE为平行四边形$
$∴AB=EG$
$在矩形EFGH中，EG=FH=2$
$∴AB=2$
$∴菱形ABCD的周长为8$
$解：四边形ACEF是平行四边形。$
$理由如下：∵DE垂直平分BC$
$∴D为BC的中点，ED⊥BC$
$又∵∠ACB=90°$
$∴AC⊥BC$
$∴ED//AC$
$∴∠AEF=∠EAC，ED是△ABC的中位线$
$∴E为AB的中点$
$∴在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线 $
$∴CE=AE=AF$
$∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ACE$
$∴∠FAE=∠AEC$
$∴AF//EC$
$∴四边形ACEF是平行四边形$
$解：当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形。$
$理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°$
$∴AC=\dfrac{1}{2}AB$
$由(1)知CE=\dfrac{1}{2}AB$
$∴AC=CE$
$又∵四边形ACEF为平行四边形$
$∴四边形ACEF为菱形$
$证明：∵折叠纸片使点B落在边AD上的点E处$
$折痕为PQ$
$∴点B与点E关于PQ对称 $
$∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF $
$又∵EF//AB$
$∴∠BPF=∠EFP$
$∴∠EPF=∠EFP$
$∴EP=EF$
$∴BP=BF=EF=EP$
$∴四边形BFEP为菱形$
$解：①∵四边形ABCD是矩形$
$∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°$
$∵点B与点E关于PQ对称 $
$∴PB=PE，CE=BC=5cm$
$在Rt△CDE中，DE= \sqrt{CE^2-CD^2}= \sqrt{5^2-3^2}=4(cm)$
$∴AE=AD-DE=5-4=1(cm)$
$在Rt△APE中，AE=1cm，AP=3-PB=3-PE$
$∴EP^2=1^2+(3-EP)^2，解得EP=\dfrac{5}{3} cm$
$∴菱形BFEP的边长为\dfrac{5}{3} cm$
$②当点Q与点C重合时，点E离点A最近$
$由①知，此时AE=1cm$
$当点P与点A重合时，点E离点A最远$
$此时四边形ABQE为正方形$
$AE=AB=3cm$
$∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm$
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