第33页 - 创新优化学案八年级数学江苏版 - 05网零5网 0五网新知语文网

证明：$(1) $∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$ AB=CD. $

∵$ ∠B=∠AEB，$∴$ AE=AB. $

∴$ AE=4CD $

$(2)AC=ED $

理由：∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$ ∠B=∠ADC，$$AD//BC.$

∴$ ∠DAE=∠AEB.$

∵$ ∠B=∠AEB，$

∴$ ∠B=∠AEB=∠DAE=∠ADC.$

在$△ADC$和$△DAE$中，

$\begin{cases}{CD=AE}\\{∠ADC=∠DAE}\\{AD=DA，}\end{cases}$

∴$ △ADC≌△DAE(\mathrm {SAS}). $

∴$ AC=ED.$

解：$(1) $∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$ AD//BC，$$AD=BC，$$CD=AB，$$AB//CD. $

∴$ ∠AEB=∠CBF，$$∠ABE=∠F=28°. $

∵$ ∠ABC$的平分线交$AD$于点$E，$

∴$ ∠ABE=∠CBF. $

∴$ ∠AEB=∠ABE=28°. $

∴$ AE=AB.$

∴$ ∠A=180°-28°-28°=124° $

$(2) $∵$ AE=AB=5，$$AD=BC=8，$$CD=AB=5，$

∴$ DE=AD-AE=3.$

∵$ CE⊥AD，$∴$ CE=\sqrt {CD^2-DE^2}=\sqrt {5^2-3^2}=4.$

∴$ ▱ABCD$的面积$=AD·CE=8×4=32.$

$-2$或$4$

6

证明：$(1) $∵$ △ABC$是以$BC$为底边的等腰三角形，

∴$ AB=AC. $

∴$ ∠ABC=∠C.$

∵$ EG//BC，$$DE//AC，$

∴$ ∠AEG=∠ABC=∠C，$四边形$CDEG$是平行四边形.

∴$ ∠DEG=∠C.$

∴$ ∠ABC=∠DEG. $

∵$ BE=BF，$

∴$ ∠F=∠BEF=∠AEG=∠ABC. $

∴$ ∠F=∠DEG. $

∴$ BF//DE.$

又∵$ FE//BD，$

∴ 四边形$BDEF$为平行四边形

$(2) $∵$ ∠C=45°，$

∴$ ∠ABC=∠F=∠BEF=45°.$

∴$ △BDE、$$△BEF$是等腰直角三角形.

∴$ BF=BE=DE.$

在$Rt△BEF $中，$BF^2+BE^2=EF^2=BD^2=4，$即$BF^2=2.$

如图，作$FM⊥BD，$交$DB$的延长线于点$M，$连接$DF，$

则$△BFM$是等腰直角三角形，且$FM=BM. $

∴$ FM^2+BM^2=BF^2=2. $

∴$ FM=BM=1.$

∴$ DM=3.$

在$Rt△DFM$中，由勾股定理，得$DF^2=FM^2+DM^2=1+3^2=10. $

∴$ DF=\sqrt {10}，$

即$D、$$F$两点间的距离为$ \sqrt {10}.$