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①②④

解：$ (1) $四边形$ E G F H $是平行四边形，理由如下：

∵四边形$ A B C D $是平行四边形，

∴$A D / / B C，$$ A D=B C$

∵$A E=C F$

∴$A D-A E=B C- C F ，$

即$ D E=B F $

∵$A E / / C F，$$ A E=C F$

∴四边形$ A E C F $是平行四边形

∴$A F / / C E . $

同理可得，$ B E / / D F .$

∴四边形$ EGFH $是平行四边形

$ (2) $四边形$ E G F H $不一定是平行四边形，反例如图所示

证明$ ∶(1) $∵$A F=C D$

∴$A F+C F=C D+C F ，$ 即$ A C=D F ，$

在$△ABC$和$△DEF $中，

${{\begin{cases} {{AB=DE}} \\{AC=DF} \\{BC=EF} \end{cases}}}$

∴$△ABC≌△DEF(\mathrm {SSS})$

∴$\angle A C B=\angle D F E $

$ (2) $四边形$ B F E C $是平行四边形由$(1)$可知，$ \angle A C B=\angle D F E，$ ∴$B C / / E F ，$

又 ∵$B C=E F$

∴四边形$ B F E C $是平行四边形.

证明：∵$BE=CF$

∴$BE+EC=CF+EC$

即：$BC=EF$

在$△ABC$和$△DEF $中，

$ {{\begin{cases} {{AB=DE}} \\{AC=DF} \\{BC=EF} \end{cases}}}$

∴$△ABC≌△DEF(\mathrm {SSS})$

∴$∠B=∠DEF$

∴$AB//DE$

又∵$AB=DE$

∴四边形$ABED$是平行四边形.