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证明：​$(1) $​∵ 四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$ AD//BC，$​​$AD=BC. $​
∵ 点​$C$​是​$BE$​的中点，
∴​$ BC=CE. $​
∴​$ AD=CE. $​
∵​$ AD//CE，$​
∴四边形​$ACED$​是平行四边形 
​$(2) $​∵ 四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$ AB=DC. $​
∵​$ AB=AE，$​
∴​$ DC=AE. $​
∵ 四边形​$ACED$​是平行四边形，
∴ 四边形​$ACED$​是矩形.
证明：​$(1) $​∵​$ △ABC$​是等边三角形，
∴​$ AB=AC，$​​$∠BAC=∠ACB=60°. $​
∵​$ DE//AB，$​​$AE//BD，$​
∴​$ ∠EFA=∠BAC=60°，$​​$∠CAE=∠ACB=60°. $​
∴​$ △EAF$​是等边三角形. 
∴​$ AF=AE.$​
在​$△ABF $​和​$△ACE$​中
​$\begin{cases}{AB=AC}\\{∠BAF=∠CAE=60°}\\{AF=AE}\end{cases}$​
∴​$ △ABF≌△ACE(\mathrm {SAS}) $​
​$(2) △DCE$​是直角三角形，​$∠DCE=90° $​
理由：连接​$AD. $​
∵​$ DE//AB，$​​$AE//BD，$​
∴ 四边形​$ABDE$​是平行四边形. 
∴​$ AE=BD. $​
∵​$ D$​是​$BC$​的中点，
∴​$ BD=DC. $​
∴​$ AE=DC.$​
∵​$ AE//DC，$​
∴，四边形​$ADCE$​是平行四边形. 
∵​$ AB=AC，$​​$D$​是​$BC$​的中点，
∴​$ AD⊥DC. $​
∴ 四边形​$ADCE$​是矩形. 
∴​$ △DCE$​是直角三角形，​$∠DCE=90°.$​

4.8
解：​$(1) $​答案不唯一，
如图④中，​$∠BAD=90°. $​∴​$ ▱ABCD$​是矩形，而图②③的平行四边形的四个内角中，均分别
有一对相等的锐角和一对相等的钝角 
​$(2)①BD=10\ \mathrm {cm}，$​​$AC=\frac {48}5\ \mathrm {cm}，$​周长为​$28\ \mathrm {cm}；$​
​$②BD=8\ \mathrm {cm}，$​​$AC=\sqrt {208}\ \mathrm {cm}，$​周长为​$32\ \mathrm {cm}；$​
​$③BD=6\ \mathrm {cm}_{AC}=\sqrt {292}\ \mathrm {cm}，$​周长为​$36\ \mathrm {cm}；$​
​$④BD=AC=10\ \mathrm {cm}，$​周长为​$28\ \mathrm {cm}.$​
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