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证明：​$(1)$​在矩形​$ABCD$​中​$，∠D=90°，DC//AB$​
∴​$∠BAN=∠AMD$​
∵​$BN⊥AM$​
∴​$∠BNA=90°$​
在​$△ABN$​和​$△MAD$​中,
​${{\begin{cases} {{∠BAN=∠AMD}} \\{∠BNA=∠D} \\{AB=MA} \end{cases}}}$​
∴​$△ABN≌△MAD(\mathrm {AAS})$​
​$(2)$​由​$(1)$​得：​$BN=AD=3$​
在​$Rt△ABN$​中​$，AB^2=(AB-1)^2+3^2$​
∴​$AB=5$​
证明：​$(1) $​∵ 四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$ BE=DE，$​​$∠BAD=90°.$​
∴​$ ∠ABD+∠ADB=90°. $​
∵​$ OB=OD，$​​$BE=DE，$​
∴​$ OE⊥BD. $​
∴​$ ∠OEB=90°. $​
∴​$ ∠BOE+∠OBE=90°. $​
∴​$ ∠BOE=∠BDA. $​
∵​$ △OAD$​为等腰直角三角形，
∴​$ AO=AD，$​​$∠OAD=90°. $​
∴​$ ∠OAD=∠BAD.$​
在​$△OAF $​和​$△DAB$​中，
​$\begin{cases}{∠FOA=∠BDA}\\{AO=AD}\\{∠OAF=∠DAB}\end{cases}$​
∴​$ △OAF≌△DAB(\mathrm {ASA}) $​
​$(2) $​由​$(1)$​得，​$△OAF≌△DAB，$​
∴​$ AF=AB.$​
如图，连接​$BF，$​则​$BF=\sqrt 2\ \mathrm {AF}. $​
∵​$ BE=DE，$​​$OE⊥BD，$​
∴​$ DF=BF. $​
∴​$ DF=\sqrt 2AF. $​
∴​$ \frac {DF}{AF}=\sqrt 2.$​

证明：​$(1) $​∵ 四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$ ∠A=∠ADC=∠B=∠C=90°，$​​$AB=CD.$​
由折叠得​$AB=PD，$​​$∠A=∠P=90°，$​​$∠B=∠PDF=90° $​
∴​$ PD=CD.$​
∵​$ ∠PDF=∠ADC，$​
∴​$ ∠PDE=∠CDF.$​
在​$△PDE$​和​$△CDF $​中，
​$\begin{cases}{∠P=∠C=90°，}\\{PD=CD，}\\{∠PDE=∠CDF，}\end{cases}$​
∴​$ △PDE≌△CDF(\mathrm {ASA}) $​
​$(2) $​如图，过点​$E$​作​$EG⊥BC$​于点​$G，$​
∴​$∠EGF=90°，$​​$EG=CD=4\ \mathrm {cm}.$​
在​$Rt△EGF$​中，由勾股定理得​$FG=\sqrt {5^2-4^2}=3(\ \mathrm {cm} )，$​
设​$CF= x\ \mathrm {cm}，$​
由​$(1)$​知​$△PDE≌△CDF，$​
∴​$ PE=CF=AE=BG= x\ \mathrm {cm}. $​
∵​$ AD//BC，$​
∴​$ ∠DEF=∠BFE.$​
由折叠得​$∠BFE=∠DFE，$​
∴​$ ∠DEF=∠DFE. $​
∴​$ DE=DF=(x+3)\ \mathrm {cm}.$​
在​$Rt△CDF $​中，由勾股定理得​$DF^2=CD^2+CF^2，$​
∴​$ x^2+4^2=(x+3)^2. $​
∴​$ x=\frac 76. $​
∴​$BC=2x+3=\frac 73+3=\frac {16}3(\ \mathrm {cm})$​
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