证明：$(1) $∵ 四边形$ABCD$和$CEFG$均为正方形，
∴$ AD//CB，$$EF//CG，$$∠BCD=∠ECG=90°，$$CE=EF，$$AD=CD.$
∴ 点$B、$$C、$$G$在同一条直线上.
∴$ AD//EF. $
∴$ ∠NAM=∠EFM，$$∠ANM=∠FEM. $
∵ 点$M$是$AF$的中点，
∴$ AM=FM. $
在$△ANM$和$△FEM$中，
$\begin{cases}{ ∠NAM=∠EFM}\\{∠ANM=∠FEM.}\\{AM=FM}\end{cases}$
∴$ △ANM≌△FEM(\mathrm {AAS}). $
∴$ AN=EF，$$NM=EM. $
∴$ AN=CE.$
∴$ AD-AN=CD-CE，$即$DN=DE. $
∵$ ∠ADE=90°，$
∴$ △DEN$为等腰直角三角形.
∴$ DM=\frac 12\ \mathrm {EN}=EM，$$DM⊥EM .$
$(2)$选择题图③ 如图，$∠DCE=90°，$延长$EM$交$AB$于点$H，$连接$DH、$$DE. $
∵ 四边形$ABCD$和$CEFG$均为正方形，
∴$ ∠BAD=∠GCE=90°，$$AB//CD，$$CG//EF，$$CE=EF，$$AD=CD. $
∴$ ∠GCE+∠DCE=180°. $
∴ 点$D、$$C、$$G$在同一条直线上，
∴$AB//DG//EF. $
∴$∠AHE=∠MEF，$$∠HAM=∠EFM. $
∵$ M$是$AF$的中点，
∴$ AM=MF. $
在$△AMH$和$△FME$中，
$\begin{cases}{∠AHE=∠MEF}\\{∠HAM=∠EFM.}\\{AM=MF}\end{cases}$
∴$ △AMH≌△FME(\mathrm {AAS}). $
∴$ HM=EM，$$AH=EF. $
∴$ AH=CE. $
在$△ADH$和$△CDE$中
$\begin{cases}{AD=CD}\\{∠BAD=∠DCE}\\{AH=CE}\end{cases}$
∴$ △ADH≌△CDE(\mathrm {SAS}). $
∴$ DH=DE，$$∠ADH=∠CDE. $
∴$ ∠ADH+∠CDH=∠CDE+∠CDH=90°. $
∴$ ∠EDH=90°. $
∴$ △EDH$为等腰直角三角形.
∴$ DM=\frac 12\ \mathrm {EH}=EM，$$DM⊥EM.$
