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证明：​$(1) $​∵​$ E$​是​$AD$​的中点，
∴​$ AE=DE. $​
∵​$ DF//AC，$​
∴​$ ∠OAD=∠ADF. $​
在​$△AOE$​和​$△DFE$​中，
​$\begin{cases}{∠OAD=∠ADF}\\{AE=DE}\\{∠AEO=∠DEF}\end{cases}$​
∴​$ △AOE≌△DFE(\mathrm {ASA}) $​
​$(2) $​四边形​$AODF $​为矩形 
理由：∵​$ △AOE≌△DFE. $​
∴，​$AO=DF.$​
∵​$ DF//AC，$​
∴ 四边形​$AODF$​为平行四边形. 
∵ 四边形​$ABCD$​为菱形，
∴​$ AC⊥BD，$​即​$∠AOD=90°.$​
∴四边形​$AODF$​为矩形.
证明：​$(1) $​∵ 四边形​$ABCD$​是矩形，
∴​$ ∠B=90°. $​
∵​$ △AB_{1}E_{1}$​是​$△ABE$​旋转所得的，
∴​$ AE=AE_{1}，$​​$∠AB_{1}E_{1}=∠ABE=∠B=90°. $​
∴​$ B_{1}$​是​$EE_{1}$​的中点. 
∴​$ EB_{1}=\frac 12\ \mathrm {EE}1.$​
∵​$ M、$​​$N$​分别是​$AE$​和​$AE_{1}$​的中点，
∴​$ MN//EB_{1}，$​​$\frac 12MN= EE_{1}. $​
∴​$ EB_{1}=MN. $​
∴ 四边形​$MEB_{1}N$​是平行四边形 .
​$(2)△AE_{1}F≌△CBE $​
理由：如图，连接​$FC. $​
∵​$ EB_{1}=B_{1}E_{1}=E_{1}F，$​
∴​$S_{△AE_{1}F}=S_{△AEB_{1}}=S_{△AE_{1}B_{1}}=\frac 13\ \mathrm {S}_{△EAF}.$​
同理可得​$S_{△CB_{1}E}=\frac 13\ \mathrm {S}_{△FEC}.$​
∵​$ S_{△AE_{1}F}=S_{△CB_{1}E}，$​
∴​$S_{△EAF}=S_{△FEC}. $​
∵​$ AF//EC，$​
∴​$ △AEF$​底边​$AF$​上的高和​$△FEC$​底边​$EC$​上的高相等. 
∴​$ AF=EC. $​
∵​$ AF//EC $​
∴​$ ∠AFE_{1}=∠CEB_{1}.$​
在​$△AE_{1}F $​和​$△CB_{1}E$​中，
​$AF=CE，$​
​$∠AFE_{1}=∠CEB_{1}，$​
​$FE_{1}=EB_{1}，$​
∴​$ △AE_{1}F≌△CBE(\mathrm {SAS}).$​
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