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解：如图所示

$(1)$图像与$x$轴交点的横坐标为$0、$$4$

$(2)$图像与$x$轴交点的横坐标为$-2、$$3$

解：设函数表达式为$y=ax^2+bx-3$

将点$(3，$$0)、$$(4，$$5)$代入

得$\begin{cases}{9a+3b-3=0}\\{16a+4b-3=5}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{a=1}\\{b=-2}\end{cases}$

∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$

解：设平移后的函数表达式为$y=2(x+m)^2+n$

把$(1，$$3)、$$(4，$$9)$代入

得$\begin{cases}{2(1+m)^2+n=3}\\{2(4+m)^2+n=9}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{m=-2}\\{n=1}\end{cases}$

∴函数表达式为$y=2(x-2)^2+1，$即$y=2x^2-8x+9$