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$ 证明:∵四边形ABCD是平行四边形，$
$ ∴AB//CD，AB=CD.$
$∴∠ABD=∠CDB.$
$ ∵AE//CF，∴∠AEF=∠CFE.$
$ ∵∠AEB=180°-∠AEF，∠CFD=180°-∠CFE，$
$ ∴∠AEB=∠CFD.$
$ 在△ABE和△CDF中，\begin{cases}{∠AEB=∠CFD，}\\{∠ABE=∠CDF，}\\{AB=CD，}\end{cases}$
$ ∴△ABE≌△CDF(\mathrm{AAS}).$
$∴BE=DF.$
$证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，\ ∴AD=BC，AD//BC，$
$∴∠ABC+∠BAD=180°，$
$∵AF//BE，∴∠EBA+∠BAF=180°， ∴∠CBE=∠DAF，$
$同理得∠BCE=∠ADF，$
$在△BCE和△ADF中，\begin{cases}{∠CBE=∠DAF，}\\{BC=AD，}\\{∠BCE=∠ADF，}\end{cases}$
$∴△BCE≌△ADF(\mathrm{ASA}).$
$(2)解:∵点E在▱ABCD的内部，$
$∴S_{△BEC}+S_{△AED}=\frac{1}{2}S_{▱ABCD}，$
$由(1)知△BCE≌△ADF，∴S_{△BCE}=S_{△ADF}，$
$∴S_{四边形AEDF}=S_{△ADF}+S_{△AED}=S_{△BEC}+S_{△AED}=\frac{1}{2}S_{▱ABCD}，$
$∵▱ABCD的面积为6，∴四边形AEDF的面积为3.$
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