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$(1)证明:由题意知∠BAD=∠CAD，$
$∠AEB=∠AEF=90°，\ $
$∵AE=AE，$
$∴△ABE≌△AFE.$
$∴BE=EF.$
$（更多请查看作业精灵详解）$
$解:如图，延长BD，CA交于点E，\ $
$易证AE=AB，BD=ED，$
$∵BM=CM，$
$∴DM=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}(AB+AC)=15.$
$(1)证明:如图，延长AB交CE于点M，易证AB=BM，\ $
$∵AF=FE，$
$∴BF= \frac{1}{2}EM，BF//EM，即BF//CE.$
$(2)解:易证AC=CM=2\sqrt{2}，CE=5\sqrt{2}，$
$∴EM=3\sqrt{2}.$
$∴BF=\frac{1}{2}EM=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$
$证明:如图，取BE的中点H，连接CH，FH.\ $
$∵F是AE的中点，H是BE的中点，$
$∴FH是△ABE的中位线.$
$∴FH//AB，FH= \frac{1}{2}AB.\ $
$又∵E是CD的中点，$
$∴EC= \frac{1}{2} DC.\ $
$∵四边形ABCD是平行四边形，\ $
$∴AB//DC，AB=DC.$
$∴FH=EC，FH//EC.\ \ $
$∴四边形EFHC是平行四边形.$
$∴GF=GC.$
$证明:如图，取BC的中点M，连接EM，\ $
$由(1)知△ABE≌△AFE.\ $
$∴BE=EF，AB=AF，\ $
$∴ME=\frac{1}{2}CF，ME//AF.$
$∴∠EMC=∠ACD.\ $
$∵AD=AC，$
$∴∠ACD=∠ADC，$
$又∵∠ADC=∠MDE，$
$∴∠MDE=∠EMD，$
$\ ∴DE=ME，$
$∴AB-AC=CF=2ME=2DE. $
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