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$\frac{1}{2}BC$
$\frac{1}{2}BC$
$解:GF=GH，GF⊥GH.\ $
$理由:如图，连接BD，CE，交点为O，\ $
$易证△ABD≌△AEC，∴BD=CE，\ $
$易证∠BOE=∠BAE=90°，即BD⊥CE.\ $
$由中位线的性质可得GF=\frac{1}{2}CE，GH=\frac{1}{2}BD，GF//CE，GH//BD，$
$∴GF=GH，GF⊥GH.\ $
$证明:如图，连接DF，EF.\ $
$∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，\ $
$∴EF//AB，DF//AC. ∴四边形ADFE是平行四边形.$
$又∵∠BAC=90°，∴平行四边形ADFE是矩形.$
$∴DE=AF.$
$(1)证明:如图，连接AE，CD，交于点F.$
$易证△ABE≌△CBD，∴AE=CD，$
$由中位线的性质可得OM//AE，OM= \frac{1}{2}AE，$
$ON//CD，ON= \frac{1}{2} CD，∴OM=ON.$
$(2)解:由△ABE≌△CBD得∠BAE=∠BCD，$
$∴∠ACF+∠CAF=∠ACB+∠CAB=120°，∴∠AFC=60°，$
$∵OM//AE，ON//CD，∴∠MON=∠AFC=60°.$
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