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$\frac{12}{5}$
$解:△EFG是等腰三角形.理由如下:连接AG，如图.$
$∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA，AB=CD，$
$∵AC=2AD，∴AD=OA，$
$∵G是OD的中点，∴AG⊥BD，即∠AGB=90°，$
$在\mathrm{Rt}△ABG中，∵E是AB的中点，∴GE= \frac{1}{2}AB，$
$∵F，G分别是OC，OD的中点，$
$∴FG= \frac{1}{2}CD，$
$∴GE=FG， 即△EFG是等腰三角形.$
$(1)证明:∵E，G分别是AD，BD的中点，\ $
$∴EG是△DAB的中位线，$
$∴EG= \frac{1}{2} AB，EG//AB.\ $
$同理，FH= \frac{1}{2}AB，FH//AB，$
$∴EG=FH，EG//FH，$
$∴四边形EGFH是平行四边形.$
$（更多请查看作业精灵详解）$
$(1)证明:∵点D，E，F分别是△ABC各边的中点，\ $
$∴DE//AC，EF//AB.\ $
$∴四边形ADEF是平行四边形.$
$（更多请查看作业精灵详解）$
$解:菱形.$
$证明:∵F，G分别是BC，BD的中点，\ $
$∴FG是△DCB的中位线，\ $
$∴FG=\frac{1}{2}CD，FG//CD，\ $
$又∵EG=\frac{1}{2}AB，AB=CD，$
$∴EG=FG，\ $
$∴平行四边形EGFH是菱形.$
$解:示例一:选②.$
$证明:∵AE平分∠BAC，$
$∴∠DAE=∠FAE.$
$∵▱ADEF中，DE//AF，$
$∴∠DEA=∠FAE.$
$∴∠DEA=∠DAE.$
$∴AD=DE.$
$∴▱ADEF是菱形 .$
$示例二:选③.$
$证明:∵D，F分别是AB，AC的中点，$
$∴AD=\frac{1}{2}AB，AF=\frac{1}{2}AC.\ $
$又∵AB=AC，$
$∴AD=AF.$
$∴▱ADEF是菱形. $
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