第105页 - 启东中学作业本八年级数学江苏版宿迁专版

③

左

1

$(-1,0)$

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$解:点M(-2,4)绕点N(1,0)顺时针旋转90°得点(5,3)，$

$∴把(5,3)代入y= \frac{k}{x}得k=15.$

$解:∵点A(1,3)在函数y=\frac{k}{x}的图像上，$

$∴k=1×3=3，$

$∴y=\frac{3}{x}.$

$设B(m,\frac{3}{m})(m＞1)，$

$∴点B绕点A顺时针旋转90°得B'(\frac{3}{m}-2,4-m).$

$∵点B'在函数y=\frac{3}{x}的图像上，$

$∴4-m=\dfrac{3}{\frac 3m-2}，$

$即(4-m)(\frac{3}{m}-2)=3，$

$整理得m^2-7m+6=0，$

$解得m_1=6，m_2=1.$

$∵m＞1，$

$∴m=6，$

$∴B(6,\frac{1}{2}).$

$解:①∵y_2=\frac{x+2}{x+1}=\frac{x+1+1}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}，$

$∴y_2=1+\frac{1}{x+1}的图像可由y=\frac{1}{x}的图像先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，$

$∴y_2=1+\frac{1}{x+1}图像的对称点坐标为(-1,1).$

$∵y_1=kx+b的图像经过点(-1,1)和A(0,2)，$

$∴\begin{cases}{-k+b=1，}\\{b=2，}\end{cases}解得\begin{cases}{k=1，}\\{b=2，}\end{cases}$

$∴y_1=x+2.$

$解方程组y=\begin{cases}{y=x+2，}\\{y=\dfrac{x+2}{x+1}，}\end{cases}$

$得\begin{cases}{x_1=-2，}\\{y_1=0，}\end{cases}\begin{cases}{x_2=0，}\\{y_2=2，}\end{cases}$

$∴B(-2,0)，$

$∴y_1和y_2的图像如图所示.$

$观察图像可知，当y_1＜y_2时，$

$x＜-2或-1＜x＜0.$

$②存在.理由如下:$

$∵函数y=\frac{1}{x}的图像关于直线y=x和y=-x对称，$

$∴把直线y=x向左平移1个单位长度，$

$再向上平移1个单位长度，$

$得直线y=x+2，不过原点(舍去)，$

$把直线y=-x向左平移1个单位长度，$

$再向上平移1个单位长度，$

$得直线y=-(x+1)+1=-x，符合题意，$

$∴存在过原点的直线l:y=- x$

$使得“和美函数”y_2=\frac{x+2}{x+1}的图像关于直线l对称. $