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第153页

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$(1)证明:连接BD，FG与BD相交于点O，如图.$

$∵将矩形纸片ABCD折叠，点D与点B重合，∴FG垂直平分BD.$

$∴DF=BF，DG=BG，∠DFC=∠BFG.$

$∵AD//BC，∴∠DFG=∠BG.$

$∴∠BGF=∠BFG.∴BF=BG.$

$∴DF=BF=BG=DG.$

$∴四边形BGDF为菱形.（更多请查看作业精灵详解）$

$证明:$

$方法一:∵四边形ABCD是平行四边形，$

$∴AD=CB，AD//CB.$

$∴∠DAE=∠BCF.$

$∵AF=CE，$

$∴AE=CF.$

$∴△ADE≌△CBF(\mathrm{SAS}).$

$∴DE=BF，∠CFB=∠AED.$

$∵∠BFE=180°-∠CFB，$

$∠DEF=180°-∠AED，$

$∴∠BFE=∠DEF.$

$∴DE//BF.$

$∴四边形DEBF是平行四边形.$

$方法二:如图，连接DB交AC于点O.$

$∵四边形ABCD是平行四边形，$

$∴OA=OC，OB=OD.$

$∵AF=CE，$

$∴AF-OA=CE-OC，即OE=OF.$

$又∵OB=OD，$

$∴四边形DEBF是平行四边形.$

$解:在\mathrm{Rt}△ABD中，$

$ \begin{aligned} BD&=\sqrt {AB^2+AD^2} \\ &= \sqrt{6^2+8^2} \\ &=10， \\ \end{aligned}$

$设BF=x，则DF=x，AF=8-x， $

$在\mathrm{Rt}△ABF中，$

$AB^2+AF^2=BF^2，$

$即6^2+(8-x)^2=x^2， $

$解得x=\frac{25}{4}，即BF=\frac{25}{4}. $

$∵\frac{1}{2}S_{菱形DFBG}=S_{△DFB}， $

$∴\frac{1}{2}×\frac{1}{2} FG•DB=\frac{1}{2}DF•AB. $

$∴\frac{1}{2}×FG×10=\frac{25}{4}×6.$

$∴FG=\frac{15}{2}.$