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第4页

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$(3×2^{n-2},2^{n-2}\sqrt{3}) $

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$①证明:如图，过点P作PF//AC交BC于点F，$

$则∠FPD=∠Q，∠PFB=∠ACB，∠BPF=∠BAC.$

$∵△ABC为等边三角形，$

$∴∠PFB=∠ABC=∠BPF=60°.$

$∴△PBF为等边三角形.$

$∴PB=PF.$

$∵点P，Q移动的速度相同，$

$∴PB=QC.$

$∴PF=QC.$

$在△PFD和△QCD中，$

$\begin{cases}{∠FPD=∠Q，}\\{∠PDF=∠QDC，}\\{PF=CQ，}\end{cases}$

$∴△PFD≌△QCD(\mathrm{AAS}).$

$∴PD=QD. $

$②解:∵P为AB的中点，$

$∴BP=BF=\frac{10}{2}=5.$

$∴CF=10-BF=5.$

$又∵△PFD≌△QCD，$

$∴CD=DF=\frac{1}{2}CF=\frac{5}{2}.$

$解:分两种情况讨论:$

$当点P在线段AB上时，BE+CD=5.$

$如图，过点P作PF//AC交BC于点F.$

$由(1)知△PBF为等边三角形，△PFD≌△QCD，$

$∴DF=DC.$

$∵PE⊥BF，$

$∴BE=EF.$

$∵BF+CF=BC，$

$∴2BE+2CD=BC=10，$

$∴BE+CD=5.$

$当点P在线段BA的延长线上时，BE-CD=5.$

$如图，过点P作PG//AC交BC的延长线于点G，$

$则∠DPG=∠Q，∠BPG=∠BAC=60°，∠G=∠ACB=60°，$

$∴△BPG为等边三角形，$

$∴PG=BP=CQ.$

$在△PGD和△QCD中，$

$\begin{cases}{∠PDG=∠CDQ，}\\{∠DPG=∠Q，}\\{PG=CQ，}\end{cases}$

$∴△PGD≌△QCD(\mathrm{AAS}).$

$∴DC=DG.$

$又∵PE⊥BG，$

$∴BE=EG.$

$∴BG-CG=BC.$

$∴2BE-2CD=BC.$

$∴BE-CD=\frac{1}{2}BC=5. $