$解:\mathrm{Rt}△ABC中,AC=5,BC=12,$
$由勾股定理,得AB=13.$
$如图,连接OC.$
$∵S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△AOC},$
$∴\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}AB×OG+\frac{1}{2}BC×OE+\frac{1}{2}AC×OF,$
$即\frac{1}{2}AC×BC=\frac{1}{2}AB×OE+\frac{1}{2}BC×OE+\frac{1}{2}×AC×OE,$
$∴\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13×OE+\frac{1}{2}×12×OE+\frac{1}{2}×5×OE.$
$解得OE=2.$
$∴OE的长为2. $