$证明:连接OB，OC.$ $由(1)得EB=EC.$ $ ∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=OC.$ $ 在△EBO和△ECO中，\begin{cases}{EB=EC,}\\{EO=EO,}\\{OB=OC,}\end{cases}$ $∴△EBO≌△ECO(SSS)，$ $∴∠BEO=∠CEO.$ 证明:∵四边形ABCD是 平行四边形，\ ∴AB=CD，AB//CD， OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF. $∵点E、F分别为OB、OD的中点，\ $ $∴BE=\frac{1}{2}OB，DF=\frac{1}{2}OD，∴BE=DF.$ $在△ABE和△CDF中\begin{cases}{AB=CD,}\\{∠ABE=∠CDF,}\\{BE=DF,}\end{cases}$ $∴△ABE≌△CDF(SAS).$ $（更多请点击查看作业精灵详解）$ 证明:在正方形ABCD中， AD⊥CD，GE⊥CD， ∴∠ADE=∠GEC=90°， ∴AD//GE，∴∠DAG=∠EGH. （更多请点击查看作业精灵详解） $证明:∵四边形ABCD是$ $平行四边形，∴CF//ED，$ $∴∠FCD=∠GDE.$ $∵G是CD的中点，∴CG=DG.$ $在△FCG和△EDG中，\begin{cases}{∠FCG=∠EDG,}\\{CG=DG,}\\{∠CGF=∠DGE,}\end{cases}$ $∴△FCG≌△EDG(ASA)，$ $∴FG=EG，\ $ $∴四边形CEDF是平行四边形.$
解:当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形. 理由:∵AC=2OA=2AB， ∴AB=OA. ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°，同理CF⊥OD，∴EG//CF. 由(1)得△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. ∵EG=AE，∴EG=CF， ∴四边形EGCF是平行四边形. ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF是矩形.
$证明:AH⊥EF，理由如下: $ $连接GC交EF于点O，如图， $ $∵BD为正方形ABCD的对角线，$ $∴∠ADG=∠CDG=45°.$ $又∵DG=DG，AD=CD， $ $∴△ADG≌△CDG(SAS)，$ $∴∠DAG=∠DCG. $ $在正方形ABCD中，∠ECF=90°， $ $又∵CE⊥CD，GF⊥BC， $ $∴四边形FCEG为矩形，$ $∴OE=OC， $ $∴∠OEC=∠OCE，$ $∴∠DAG=∠OEC， $ $由(1)得∠DAG=∠EGH，$ $∴∠EGH=∠OEC， $ $∴∠EGH+∠GEH$ $ \begin{aligned} &=∠OEC+∠GEH \\ &=∠GEC \\ &=90°， \\ \end{aligned}$ $∴∠GHE=90°，$ $∴AH⊥EF.$
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