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$解：AB//CD. 理由如下:$
$∵EM平分∠AEF,\ $
$∴∠AEM=∠MEF.$
$又∠FEM=∠FME,\ $
$∴∠AEM=∠FME,$
$∴AB//CD.$
$解：①∵AB//CD,β=56°,$
$∴∠AEG=180°-56°=124°.\ $
$∵EH平分∠FEG,EM平分∠AEF,\ $
$∴∠HEF=\frac{1}{2}∠FEG,∠MEF=\frac{1}{2}∠AEF,\ $
$∴∠MEH=\frac{1}{2}∠AEG=62°.\ $
$∵HN⊥ME，$
$∴在Rt△EHN中,∠EHN=90°-62°=28°,即α=28°.\ $
$②分两种情况讨论: 如图(1),当点G在点F的右侧时,α=\frac{1}{2}β. 证明如下:$
$∵AB//CD,∠EGF=β,\ $
$∴∠AEG=180°-β.\ $
$∵EH平分∠FEG,EM平分∠AEF,\ $
$∴∠HEF=\frac{1}{2}∠FEG,∠MEF=\frac{1}{2}∠AEF,\ $
$∴∠MEH=\frac{1}{2}∠AEG=\frac{1}{2}(180°-β).\ $
$∵HN⊥ME,\ $
$∴在Rt△EHN中,∠EHN=90°-∠MEH=90°-\frac{1}{2}(180°-β)=\frac{1}{2}β,即α=\frac{1}{2}β；\ $
$如图(2),当点G在点F的左侧时,α=90°-\frac{1}{2}β. 证明如下:$
$∵AB//CD,∠EGF=β,\ $
$∴∠AEG=∠EGF=β.\ $
$∵EH平分∠FEG,EM平分∠AEF,\ $
$∴∠HEF=\frac{1}{2}∠FEG,∠MEF=\frac{1}{2}∠AEF.\ $
$∴∠MEH=∠MEF-∠HEF=\frac{1}{2}(∠AEF-∠FEG)=\frac{1}{2}∠AEG=\frac{1}{2}β.\ $
$又HN⊥ME,\ $
$∴在Rt△EHN中,∠EHN=90°-∠MEH, 即α=90°-\frac{1}{2}β.\ $

$解：如图(1)，$

$当BD是“邻AB三分线”时，\ $
$∠BD'C=80°+15°=95°；\ $
$当BD是“邻BC三分线”时，$
$∠BD''C=80°+30°=110°.\ $
$故∠BDC的度数为95°或110°.$
$解：∵在△BPC中，∠BPC=140°，\ $
$∴∠PBC+∠PCB=40°.\ $
$又BP、CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACB的“邻BC三分线”，\ $
$∴∠PBC=\frac{1}{3}∠ABC，∠PCB=\frac{1}{3}∠ACB，$
$∴\frac{1}{3}∠ABC+\frac{1}{3}∠ACB=40°，\ $
$∴∠ABC+∠ACB=120°.\ $
$∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，$
$∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.$
$解：∠BPC的度数为 \frac{2}{3} m°或 \frac{1}{3}m°或 \frac{2}{3} m°+18°或 \frac{1}{3} m°-18°.$
$理由如下:分4种情况进行画图计算:$
$情况一:如图(2)，$
$当 BP和CP分别是“邻AB三分线”和“邻AC三分线”时，$
$∠BPC= \frac{2}{3}∠A=\frac{2}{3}m°；$

$情况二:如图(3)，$
$当BP 和CP分别是“邻BC三分线”和“邻CD三分线”时，$
$∠BPC= \frac{1}{3} ∠A= \frac{1}{3}m° ；$
$情况三:如图(4)，$
$当BP 和CP分别是“邻BC三分线”和“邻AC三分线”时，$
$∠BPC= \frac{2}{3}∠ACD- \frac{1}{3} ∠ABC= \frac{2}{3}(∠A+∠ABC)-\frac{1}{3}∠ABC= \frac{2}{3}∠A +\frac{1}{3}∠ABC=\frac{2}{3} m°+18°；$

$情况四:如图(5)，$
$当BP 和CP分别是“邻AB三分线”和“邻CD三分线”时，$
$∠BPC= \frac{1}{3}∠ACD- \frac{2}{3} ∠ABC= \frac{1}{3}(∠A+∠ABC)-\frac{2}{3} ∠ABC= \frac{1}{3}∠A-\frac{1}{3} ∠ABC=\frac{1}{3} m°-18°.$
$综上所述，∠BPC的度数为 \frac{2}{3} m°或 \frac{1}{3} m°或\frac{2}{3}m°+18°或 \frac{1}{3} m°-18°.$
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