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解：​$(1)①$​正方形的面积​$={(a+1)}^2$​或正方形的面积​$=a^2+2a+1$​
​$(2)$​如图，把该长方形视为一个边长为​$a+b$​的正方形时，其面积为​${(a+b)}^2.$​
同时，该长方形可视为四个长方形的拼图，四个长方形指两个边长分别为​$a$​和​$b$​
的正方形，以及两个相同的小长方形(长和宽分别为​$a$​和​$b).$​
此时，其面积为​$a^2+b^2+2ab.$​
由此，可推导出​${(a+b)}^2=a^2+b^2+2ab$​


解：​$∠BDC=∠A+∠B+∠C，$​
理由如下：
连接​$AD$​并延长，记​$AD$​的延长线为​$DE，$​如图所示
∵​$∠BDE=∠B+∠BAD，$​​$∠CDE=∠C+∠CAD$​
∴​$∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+(∠BAD+∠CAD)=∠B+∠C+∠A$​
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解：设​$∠ADC=m°，$​​$∠AEC=n°，$​则有
​${{\begin{cases} { {∠DCE=m°+n°+50°}} \\{∠DBE=2m°+2n°+50°}\end{cases}}}$​
∵​$∠DBE=130°$​
∴​$m°+n°=40°$​
∴​$∠DCE=90°$​
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