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A
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$证明:∵ AF=CE，\ \ \ \ \ $
$∴AF-EF=CE-EF，∴AE=CF.\ $
$\ ∵∠BAC=∠DCA ，∴AB//CD.\ $
$\ 在△ABE与△CDF中，\ $
$\begin{cases}{\ ∠BAE=∠DCF,\ }\ \\ {\ AE=CF,\ } \\{∠ AEB=∠CFD,\ }\end{cases}\ $
$∴△ABE≌△CDF(ASA)，\ \ \ \ \ $
$∴AB=CD.又AB//CD，\ $
$\ ∴四边形ABCD是平行四边形.$
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$证明:∵四边形ABCD是平行四边形，\ $
$∴AB=CD，AB//CD.\ $
$∵M、N分别为AB和CD的中点，\ $
$∴AM=\frac{1}{2}AB，CN=\frac{1}{2}CD，\ $
$∴AM=CN，且AM//CN，$
$∴四边形AMCN是平行四边形.$
$解:∵AC=BC=5，AB=6，M是AB中点，\ $
$∴AM=MB=3，CM⊥AM，$
$∴CM= \sqrt{AC²-AM²}=4.\ $
$∵四边形AMCN是平行四边形，且CM⊥AM，$
$∴四边形AMCN是矩形，\ $
$∴S_{四边形AMCN} =12.$
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