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$证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，\ $
$∴AO=CO，BO=DO，$
$∵BE=DF，∴EO=FO，\ $
$∴四边形AECF是平行四边形.$
$(2)∵BE=EF，∴S_{△ABE} =S_{△AEF} =2.$
$ ∵四边形AECF是平行四边形，$
$ ∴S_{△AEF} =S_{△CEF} =2，EO=FO，$
$ ∴△CFO的面积为1.$
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$解:过点A作AH⊥BE于点H，如图，\ $

$∵AB=AE，$
$∴BH=EH=\frac{1}{2} BE=\frac{1}{2}×4=2.\ $
$∵OC:EC=5:3，\ $
$不妨设OC=5x，则EC=3x，AC=10x，\ $
$∴CH=CE+EH=3x+2.\ $
$∵四边形ABCD是平行四边形，\ $
$∴AD//BC，$
$∴∠ACH=∠DAC=60°，\ $
$∴∠CAH=90°-60°=30°，$
$∴AC=2CH，\ $
$∴10x=2(3x+2)，$
$解得x=1，$
$∴AC=10.$
$证明:延长EG至点M，使得EM=AE，连接AM， 如图，\ $

$∵∠AEG=60°，$
$∴△AEM为等边三角形，\ $
$∴AE=AM，∠M=60°.\ $
$∵AB=AE，$
$∴∠ABE=∠AEB，AB=AM.\ $
$∵四边形ABCD是平行四边形，\ $
$∴AB//CD.\ $
$∴∠ABC+∠BCD=180°.\ $
$∵∠AGB+∠BCD=180°，$
$∴∠ABC=∠AGB.\ $
$∵∠ABG=180°-∠AGB-∠BAG，$
$∠ACB=180°-∠ABC-∠BAG，\ $
$∴∠ABG=∠ACB=60°=∠M.\ $
$∵∠AEG=∠ACB=60°，\ $
$∴∠AEB+∠CEG=∠CEG+∠CGE=120°，\ $
$∴∠AEB=∠CGE.\ $
$∵∠AGB=∠ABE=∠AEB，$
$∠AGM=∠CGE.$
$∴∠AGB=∠AGM.\ $
$又AG=AG，$
$∴△ABG≌△AMG(AAS).\ $
$∴BG=MG，$
$∴BG+EG=MG+EG=EM.\ $
$∵AE=EM，$
$∴AE=BG+EG.\ $
$∵四边形ABCD是平行四边形，\ $
$∴AB=DC.\ $
$∵AB=AE，$
$∴BG+EG=DC. $
$解:①如图(1)，∵四边形ABCD是平行四边形，\ $
$∴AB//CD.$
$∴∠DEA=∠EAB.\ $
$∵AE平分∠DAB，$
$∴∠DAE=∠EAB.\ $
$∴∠DAE=∠DEA.\ $
$∴DE=AD=5.\ $
$同理可得BC=CF=5.\ $
$∵点E与点F重合，$
$∴AB=CD=10.\ $

$②当点E与点C重合时，\ $
$同理可证DE=DC=AD=5.\ $
$∵CF=BC=5，$
$∴点F与点D重合.\ $
$∴EF=DC=5.$
$解:分三种情况讨论:\ $
$如图(2)，易知AD=DE=EF=CF，$
$∴\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}；\ $

$如图(3)，易知AD=DE，BC=CF.\ $
$又DF=FE=CE，$
$∴\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{AB}=\frac{2}{3}；\ $

$如图(4)，$
$∵AD=DE，CB=CF，\ $
$又FD=DC=CE，$
$∴\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{CD}=2.\ $

$综上所述，\frac{AD}{AB}的值为\frac{1}{3}、\frac{2}{3}或2.$
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