第58页 - 江苏版实验班提优训练数学八年级上下册答案

$解:(1)∵AH//GB，BH//GA，\ $

$∴四边形A HBG为平行四边形.\ $

$在△ABC和△BAD中，\ $

$\begin{cases}{\ AD=BC,}\ \\ {∠ABC=∠BAD=90°.\ }\\{AB=BA,\ } \end{cases}\ $

$∴△ABC≌△BAD(SAS)，\ $

$∴∠ABD=∠BAC.\ $

$∴GA=GB.∴平行四边形AHBG是菱形$

$(2)AB=BC.$

$(1)证明:∵四边形ABCD是菱形，\ $

$∴AD//BC，∠BAD=2∠DAC，$

$∠ABC=2∠DBC，\ $

$∴∠BAD+∠ABC=180°.\ $

$∵∠CAD=∠DBC，∴∠BAD=∠ABC，\ $

$∴2∠BAD=180°，∴∠BAD=90°，\ $

$∴菱形ABCD是正方形.$

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证明:在正方形ABCD中，

AD⊥CD，GE⊥CD，

∴∠ADE=∠GEC=90°，

∴AD//GE，

∴∠DAG=∠EGH.

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$证明:∵四边形ABCD是正方形，\ $

$∴AC⊥BD，AC=BD，CO=\frac{1}{2}AC，DO=\frac{1}{2} BD，\ $

$∴∠COB=∠DOC=90°，CO=DO.\ $

$∵DH⊥CE，垂足为H，\ $

$∴∠DHE=90°，$

$∴∠EDH+∠DEH=90°.\ $

$∵∠ECO+∠DEH=90°，\ $

$∴∠ECO=∠EDH.\ $

$在△ECO和△FDO中，$

$\begin{cases}{\ ∠ECO=∠FDO,\ }\ \\ {CO=DO,\ } \\{COE=∠DOF,\ }\end{cases}\ \ $

$∴△ECO≌FDO(ASA)，$

$∴OE=OF.$

$证明:∵四边形ABCD是正方形，$

$∴∠D=∠A=90°.\ $

$∵四边形EFGH是菱形，$

$∴HG=HE.\ $

$在Rt△DHG和△AEH中，$

$\begin{cases}{HG=HE,}\ \\ { DG=AH, } \end{cases}\ $

$∴Rt△DHG≌△AEH(HL)，\ $

$∴∠DHG=∠AEH，$

$∴∠DHG+∠AHE=90°.\ $

$∴∠GHE=90°，$

$∴菱形EFGH为正方形. $

$解:如图，过点F作FM⊥CD，交DC的延长线于点 M，连接GE.\ $

$∵CD//AB，$

$∴∠AEG=∠MGE.$

$∵GF//HE，$

$∴∠HEG=∠FGE，$

$∴∠AEH=∠FGM.\ \ $

$在△EHA和△GFM中，$

$\begin{cases}{\ ∠A=∠M=90°, }\ \\ {\ ∠AEH=∠FGM,} \\{HE=FG,\ }\end{cases}\ $

$∴△EHA≌△GFM(AAS)，$

$∴MF=AH=2.\ $

$设DG=x，则CG=6-x，$

$∴S_{△FCG} =\frac{1}{2}CG·FM=6-x=1.$

$解得x=5，即DG=5.$

$解:A H⊥EF，理由如下:\ $

$连接GC交EF于点O，如图，$

$∵BD 为正方形ABCD 的对角线，$

$∴∠ADG=∠CDG=45°.$

$又DG=DG，AD=CD，$

$∴△ADG≌△CDG(SAS)，\ $

$∴∠DAG=∠DCG.\ $

$∵四边形ABCD为正方形，$

$∴∠ECF=90°.\ $

$又GE⊥CD，GF⊥BC，\ $

$∴四边形FCEG为矩形，$

$∴OE=OC，\ $

$∴∠OEC=∠OCE，$

$∴∠DAG=∠OEC.\ $

$由(1)得∠DAG=∠EGH，$

$∴∠EGH=∠OEC.\ $

$∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°.$

$∴∠GHE=90°，$

$∴AH⊥EF.$