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$解:(2)∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，$
$∴BC= \sqrt{BD²+CD²}= \sqrt{4²+3²}=5.\ $
$由(1)，得四边形EFGH的周长$
$=EH+GH+FG+EF=AD+BC.\ $
$又AD=6，\ $
$∴四边形EFGH的周长=6+5=11.$
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平行四边形 
AC⊥BD
$解:菱形的中点四边形是矩形.理由如下，\ $
$如图(3)，连接AC、BD.\ $
$∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD$
$四条边上的中点，$
$∴EH//BD，HG//AC，FG//BD，$
$EH=\frac{1}{2} BD，FG=\frac{1}{2} BD.$
$∴EH//FG，EH=FG.\ $
$∴四边形EFGH是平行四边形.\ $
$∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.\ $
$∵EH//BD，HG//AC，∴EH⊥HG.\ $
$∴平行四边形EFGH是矩形.$
$证明:(1)∵E、F、G、H分别是$
$AB、AC、CD、BD的中点，\ $
$∴EH=FG=\frac{1}{2}AD，$
$EF=GH=\frac{1}{2}BC.\ $
$∴四边形EFGH是平行四边形.$
$证明:(1)∵边AB、OB、OC、$
$AC的中点分别为D、E、F、G，$
$∴DG//BC，EF//BC，$
$DG= \frac{1}{2} BC，EF= \frac{1}{2} BC.\ $
$∴DG//EF，DG=EF.\ $
$∴四边形DEFG是平行四边形.$
$解:(2)∵∠OBC和∠OCB互余，\ $
$∴∠OBC+∠OCB=90°.∴∠BOC=90°.\ $
$∵M为EF的中点，∴OM=\frac{1}{2}EF.\ $
$∵OM=5，DG=EF，∴DG=EF=2OM=10.$
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$证明:∵D、E、F分别是△ABC各边中点，\ $
$∴DE//AC，EF//AB，\ $
$∴四边形ADEF是平行四边形，\ $
$∴∠DEF=∠DAF.$
$∵AH是△ABC的高，\ $
$∴△ABH、△ACH是直角三角形.\ $
$∵点D、点F是斜边AB、AC中点，\ $
$∴DH=DA，HF=AF，\ $
$∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，$
$∴∠DAH +∠FAH =∠FHA +∠DHA，$
$即∠DAF=∠DHF，$
$∴∠DEF=∠DHF.$
$解:平行四边形\ $
$理由如下， 如图(1)，$
$连接BD.\ $
$∵E、H分别是AB、AD中点，\ $
$∴EH//BD，EH=\frac{1}{2} BD.\ $
$同理FG//BD，FG=\frac{1}{2}BD.$
$∴EH//FG，EH=FG.\ $
$∴四边形EFGH是平行四边形.$

$解:AC⊥BD\ $
$理由如下， 如图(2)，连接AC、BD.$
$∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，$
$∴EH//BD，HG//AC.\ $
$∵AC⊥BD，$
$∴EH⊥HG.\ $
$又四边形EFGH是平行四边形，\ $
$∴平行四边形EFGH是矩形.$
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