第63页 - 江苏版实验班提优训练数学八年级上下册答案

$证明:(1)∵点B是AC的中点，∴AB=BC.\ $

$在△ABE和△BCD中,\ $

$\begin{cases}{AE=BD,\ }\ \\ { BE=CD, }\\{AB=BC} \end{cases}\ $

$∴△ABE≌△BCD(SSS).$

$(2)∵△ABE≌△BCD，$

$ ∴∠ABE=∠BCD，∴BE//CD.$

$ ∵BE=CD，$

$∴四边形BCDE为平行四边形.$

$解:∵四边形ADBF是菱形，\ $

$∴菱形ADBF的面积=2△ABD的面积.\ $

$∵点D是BC的中点，\ $

$∴△ABC的面积=2△ABD的面积，\ $

$∴菱形ADBF的面积=△ABC的面积=40，\ $

$∴\frac{1}{2}AB·AC=40，$

$∴\frac{1}{2}×8·AC=40，∴AC=10，$

$∴AC的长为10.\ $

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$证明:∵AF//BC，$

$∴∠AFC=∠FCD，∠FAE=∠CDE.\ $

$∵点E是AD的中点，$

$∴AE=DE.\ $

$易证△FAE≌△CDE(AAS)，$

$∴AF=CD.\ $

$∵点D是BC的中点，$

$∴BD=CD，$

$∴AF=BD，$

$∴四边形AFBD是平行四边形.\ $

$∵∠BAC=90°，点D是BC的中点，\ $

$∴AD=BD=\frac{1}{2}BC.$

$∴四边形ADBF是菱形.$

$解:设QF与AD相交于点G，\ $

$∵四边形ABCD是矩形.\ $

$∴∠A=∠B=90°，AD//BC.\ $

$∵QF⊥BC，∴QF⊥AD.\ $

$∵四边形ABFE与四边形PQFE关于EF成轴对称，\ $

$∴∠P=∠A=90°，∠Q=∠B=90°，PE=AE=6，PQ=AB=8，$

$∴四边形ABFG、PEGQ都是矩形，\ $

$∴BF=AG，EG=PQ=8，$

$∴BF=AG=AE+EG=14.$

$解:∵四边形ABFE与四边形PQFE关于EF成轴对称，$

$∴B、Q关于EF成轴对称.$

$当B、E、Q三点共线时，$

$∴∠BEF=∠QEF=90°.\ $

$如图，过点E作EM⊥BC于点M，$

$又∠A=∠ABC=90°，$

$∴四边形ABME是矩形，\ $

$∴BM=AE=6，EM=AB=8.\ $

$∵∠A=90°，AE=6，AB=8，$

$∴BE= \sqrt{AB²+AE²}=10.\ $

$在Rt△BEF中，$

$EF²=BF²-BE²=BF²-100，$

$在Rt△MEF中，$

$EF²=EM²+FM²=64+(BF-6)²，$

$∴BF²-100=64+(BF-6)²，$

$∴BF=\frac{50}{3}.\ $

$又BC=20，$

$∴CF=BC-BF=\frac{10}{3}.$

$证明:∵DE⊥BC，$

$∴∠DEC=∠FEC=90°.\ $

$在△DEC和△FEC中，\ $

$\begin{cases}{\ \ DE=EF, }\ \\ {\ ∠DEC=∠FEC,} \\{CE=CE, }\end{cases}\ $

$∴△DEC≌△FEC(SAS)，$

$∴CF=CD.\ $

$∵AB=CD，$

$∴CF=AB.\ $

$同理BF=AC.$

$∴四边形ABFC是平行四边形 .$

$∵AB=6，BC=10，AC=8，\ $

$∴AB²+AC²=BC²，$

$∴∠BAC=90°，$

$∴平行四边形ABFC是矩形.$

$解:如图，过点A作A H⊥BC于点H，\ $

$∴∠AHB=∠DEC=90°.\ \ $

$在△ABH和△DCE中，\ $

$\begin{cases}{\ ∠AHB=∠DEC,}\ \\ {∠ABH=∠DCE , } \\{AB=CD,}\end{cases}\ $

$∴△ABH≌△DCE(AAS)，$

$∴AH=DE.\ $

$∵S_{△ABC} =\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AH，\ $

$∴AH=\frac{AB·AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=4.8，\ $

$∴DE=AH=4.8.$