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$解:∵a、b、c是正数，且满足a+b+c=9，$
$∴a=9-b-c，b=9-a-c，c=9-a-b，$
$∴原式=\frac {9-b-c}{b+c}\frac {9-a-b}{c+a}+\frac {9-a-b}{a+b}$
$=\frac{9}{b+c}+\frac{9}{c+a}+\frac{9}{a+b}-3$
$=9×\frac{10}{9}-3=7.$
$\frac{1}{13} $
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12
$\frac{1}{11} $
$\sqrt {5}\ $
3或-7
$\frac{1}{5} $
$-\frac{10}{7} $
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$解:原式=( \frac{a^{3} -a}{a²-1}- \frac{a²}{a²-1}) ÷\frac {a² }{a²-1}$
$=\frac{a(a²-a-1)}{a²-1}· \frac{a²-1}{a²}\ $
$=\frac{a²-a-1}{a}.$
$∵ a²≠0，a²-1≠0，$
$∴a≠0，a≠±1.$
$∵ \sqrt{4}=2＜\sqrt {5} ＜\sqrt {9} =3，$
$∴-1＜a＜\sqrt {5} 的整数解有0,1,2.$
$∵a≠0，a≠±1，$
$∴a=2，$
$原式=\frac{2²-2-1}{2}=\frac{1}{2}.$
$ \begin{aligned} 解:原式&=[\frac{x+1}{x(x+1)}-\frac {2x}{x(x+1)}] ÷\frac {2x(1-x)}{(x+1)²} \\ &=\frac{1-x}{x(x+1)}· \frac{(x+1)²}{2x(1-x)} \\ &=\frac{x+1}{2x²} . \\ ∵x²-x-1&=0， \\ \end{aligned}$
$∴x+1=x²，$
$∴\frac{x+1}{2x²}=\frac{x²}{2x²} =\frac{1}{2}.$
$解:将已知的三个分式分别取倒数，$
$得\frac{a+b}{ab}=3，$
$\frac{b+c}{bc}=4，$
$\frac{c+a}{ca}=5，$
$即\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}=3，$
$\frac {1}{b}+\frac {1}{c}=4，$
$\frac {1}{c}+\frac {1}{a}=5，$
$将以上三式相加并整理，$
$得\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6，$
$通分，得\frac {ab+bc+ca}{abc}=6，$
$即\frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac{1}{6}.$
$解:设\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=k，\ $
$则b+c=ka ①，$
$a+c=kb ②，$
$a+b=kc ③.\ $
$①+②+③得，$
$2(a+b+c)=k(a+b+c)，\ $
$若a+b+c≠0，则k=2，\ $
$∴\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=\frac{kc·ka·kb}{abc}=k^{3} =8；\ $
$若a+b+c=0，$
$则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，\ $
$∴\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc} =\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1.$
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