证明：(1)∵∠BAC=90°, ∴∠EAD+∠CAE=90°，∠EDA+∠F=90° ∵∠EAD=∠EDA, ∴ EA=ED，∠CAE=∠F， ∴EA=EF， ∴DE=EF
$解：(2)BD=CF\ $ $理由：如图，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM.$ $在△DEM和△FEC中，$ ${{\begin{cases} { {DE=FE}} \\{∠DEM=∠FEC} \\ {ME=CE} \end{cases}}}$ $∴△DEM≌△FEC(SAS)，$ $∴ DM=FC，ME=CE， ∠MDE=∠F，\ $ $∴ DM//CF，即 DM//AF，$ $∴ ∠BDM=∠BAC=90°$ $∵ 在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°,$ $∴∠B=∠ACB=45°,$ $∴ 在Rt△BDM中，∠B=∠BMD= 45°,$ $∴ BD=DM，$ $∴BD=CF.$
$解：(1)∵ DE⊥AB，$ $∴ ∠DEB=90°.\ $ $∵ M为BD 的中点，$ $∴DM=MB，$ $∴ 在Rt△DEB 中，EM=\frac{1}{2} DB.\ $ $∵ ∠ACB=90°，$ $∴ 在 Rt△DCB 中，CM=\frac{1}{2} DB，$ $\ ∴ CM=EM$
$证明：(3)连接AM.$ $∵ △DAE≌△CEM，CM=EM，$ $∴AE=EM=CM=DE=DM，∠DEA=∠CME=90°，$ $∴ △ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，$ $∴∠DEM=∠DME=60°,$ $∴ ∠FEM=30°.\ $ $∵AE=EM,$ $∴ ∠EAM=∠EMA=15°,$ $∴ ∠AMC = ∠CME - ∠EMA = 75°.\ $ $∵∠CME= 90°,∠DME=60°,$ $∴ ∠DMC=30°.\ $ $∵CM=DM，$ $∴ ∠MCD=∠MDC=\frac{1}{2} × (180°-30°) =75°,\ $ $∴∠AMC=∠MCD,∴AC=AM.∵ N为CM的中点，$ $∴AN⊥CM,$ $∴∠ANM=90°,$ $∴∠ANM+∠CME=180°,$ $∴AN//EM$
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