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$3或\frac{27}{5}或\frac{13}{2}或6$
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$解：(1)在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，$
$∴根据勾股定理，得AC=4cm.$
$①若点P在CA上，则CP=t cm=3cm，$
$∴t=3.$
$②如图，若点P在AB上，则CP=CB=3cm，AP=(t-4)cm.$
$过点C作CH⊥AB于点H，则PB=2BH.$
$由S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CH，得4×3=5CH，$
$∴ CH=\frac{12}{5} cm.\ $
$在 Rt△BCH 中，∵ BH²+CH²=BC²，$
$∴ BH²+(\frac{12}{5} ²=3²，$
$∴ BH=\frac{9}{5} cm，$
$∴ PB=2BH=\frac{18}{5} cm.$
$由AP+PB=AB，得t-4+\frac{18}{5}=5，$
$∴t=\frac{27}{5}.$
$③当点P与点B重合时，CP=3cm，此时t=9.$
$综上所述，当t 的值为3或\frac{27}{5}或9时，CP=3cm$
$解：∵∠BAC=90°，$
$∴ AB²+AC²=BC²，即8²+6²=BC²，$
$∴ BC=10.$
$∵在Rt△ABC中，AO是边BC上的中线，$
$∴ BO=CO=AO=\frac{1}{2}BC=5，$
$∴AB△AC=AO²-BO²=5²-5²=0$
$解：(2)如图，取AC的中点D，连接OD，则 CD=\frac{1}{2}AC=3.$

$由(1)，知AO=CO=5，$
$∴ OD⊥AC(三线合一)，$
$∴在Rt△ODC中，OD²=OC²-CD²=5²-3²=16,$
$∴OD=4,$
$∴OC△OA=OD²-CD²=4²-3²=7$
$解：(1)存在\ $
$∵∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,$
$∴ 由勾股定理，得AC²+BC²=AB²,$
$∴ AC=4cm.$
$假设存在点P，使得PA=PB，则PA=PB=2t cm,PC=(4-2t)cm.$
$在Rt△BPC中，由勾股定理，得PC²+BC²=PB²，$
$即(4-2t)²+3²=(2t)²,解得t=\frac{25}{16}:$
$∴ 存在满足条件的点P，此时t 的值为\frac{25}{16}$
$解：(1)①当点P在点C或点B处时，一定在△ABC$
$的角平分线上，此时t=2或t=\frac{7}{2}.$
$②如图①，当点P在边AC上，且点P在∠ABC的$
$平分线上时，AP=2t cm.$
$过点P作PH⊥AB，垂足为H，易得△BHP≌△BCP.$
$∴ PH=PC=(4-2t)cm，BH=BC=3cm，$
$∴AH=AB-BH=2cm.$
$在Rt△AHP中，由勾股定理，得AH²+PH²=AP²,$
$∴ 2²+(4-2t)²=(2t)²，解得t=\frac{5}{4}.$
$③如图②，当点P在边BC上，且点P在∠BAC的$
$平分线上时，PC=(2t-4)cm，PB=BC-PC=(7-2t)cm.$
$过点P作PH⊥AB，垂足为 H，易得△AHP≌△ACP.\ $
$∴PH=PC=(2t-4)cm，AH=AC=4cm，$
$∴BH=AB-AH=1cm.$
$在Rt△BHP 中，由勾股定理，得BH²+PH²=PB²,$
$∴ 1²+(2t-4)²=(7-2t)²,解得t=\frac{8}{3}.$
$综上所述，当点P恰好在△ABC的角平分线上时，$
$t的值为2或\frac{7}{2}或\frac{5}{4}或\frac{8}{3}$
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