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$解：(1)（更多请点击查看作业精灵详解）$
$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$
$(3)不成立，关系为AF=DE+EF$
（更多请点击查看作业精灵详解）
$证明：(1)连接BF $

$∵Rt△ABC≌Rt△DBE$
$∴BC=BE，∠ACB=∠FHB=90°$
$在Rt△BCF 和Rt△BEF中$
$\begin{cases}BC=BE\\BF=BF\end{cases}$
$∴Rt△BCF≌Rt△BEF(\mathrm {HL})$
$∴CF=EF$
$证明：(2)连接BF$

$∵Rt△ABC≌Rt△DBE$
$∴BC=BE，AC=DE，$
$∠ACB = ∠FEB = 90°$
$在 Rt △BCF 和 Rt △BEF 中$
$\begin{cases}BC=BE\\BF=BF\end{cases}$
$∴Rt△BCF≌Rt△BEF(\mathrm {HL})$
$∴EF=CF$
$∴AF+EF=AF+CF=AC=DE$
$解：(1)MN//BC，理由：$
$∵△AMN与△CMN重合，MN为折痕$
$∴MN⊥ AC$
$∵∠A+∠B=90°，∠A+∠AMN=90°$
$∴∠B=∠AMN$
$∴MN//BC$
$解：(2)①点B能与点C重合，理由如下：$
$∵ME⊥BC，MN⊥AC$
$∴∠CNM=∠MEC=90°，∠CNM=∠MEB=90°$
$由(1)可得MN//BC$
$∴∠NMC = ∠MCE$
$在 △CMN 和 △MCE 中$
$\begin{cases}∠CNM=∠MEC\\∠NMC=∠ECM\\MC=CM\end{cases}$
$∴△CMN≌△MCE(\mathrm {AAS})$
$∴EM=CN，MN=CE$
$∵△AMN与△CMN重合，MN为折痕$
$∴ ∠B=∠AMN=∠CMN$
$在 △BME 和 △MCN 中$
$\begin{cases}∠B=∠CMN\\∠MEB=∠CNM\\ME=CN\end{cases}$
$∴△BME ≌△MCN(\mathrm {AAS})$
$∴BM=CM$
$∴ 将△BME沿ME折叠，点B能与点C重合$
$解：(3)∠BMC=∠POQ或∠POQ+∠BMC=180°，理由如下：$
$①当△OPQ 为锐角三角形时，$
$过点B作BG⊥MC于点G，过点Q 作$
$QH⊥MC于点H$

$∵S_{△BMC}=S_{△OPQ}$
$∴\frac{1}{2}MC · BG=\frac{1}{2}OP · QH$
$∵OP 与边MC恰好重合，即OP=MC$
$∴BG=QH$
$∵MC=MB=OP= OQ$
$∴MB=QQ$
$∵BG⊥MC，QH⊥MC$
$∴∠BGM=∠QHO=90°$
$在Rt△BGM和Rt△QHO中$
$\begin{cases}MB=OQ\\BG=QH\end{cases}$
$∴Rt△BGM≌Rt△QHO(\mathrm {HL})$
$∴∠BMG=∠QOH，即∠BMC=∠POQ$
$\ ②当△OPQ 为钝角三角形时，$
$过点B作BS⊥CM于点S，过点Q 作$
$QT⊥PO的延长线于点T$

$∵S_{△BMC}=S_{△OPQ}$
$∴\frac{1}{2}MC · BS=\frac{1}{2}OP · QT$
$OP 与边MC恰好重合，即OP=MC$
$∴BS=QT$
$∵MC=MB=OP=QQ$
$∴MB=OQ$
$∵BS⊥CM，QT⊥OP$
$∴∠T=∠BSM=90°$
$在Rt△BSM和Rt△QTO中$
$\begin{cases}{MB=OQ}\\{BS=QT}\end{cases}$
$∴Rt△BSM≌Rt△QTO(\mathrm {HL})$
$∴∠BMS=∠QOT$
$∵∠POQ+∠QOT=180°$
$∴∠POQ+∠BMS=180°，$
$即∠POQ+∠BMC=180°$
$解：(1)△BPE与△CQP 全等，理由如下：$
$∵点E为AB的中点，AB= 20\ \mathrm {cm}$
$∴BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10(\ \mathrm {cm})$
$∵点P、Q 的速度都是5\ \mathrm {cm}/s$
$∴经过1s 后，BP=5\ \mathrm {cm}，$
$PC=BC-BP=15-5=10(\ \mathrm {cm})，CQ=5\ \mathrm {cm}$
$在△BPE和△CQP中$
$\begin{cases}BE=CP\\∠B=∠C\\BP=CQ\end{cases}$
$∴△BPE≌△CQP(\mathrm {SAS})$
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