第27页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

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$解：B D=A C，\ 理由如下：$

$由于 A D 平分 \angle BA E$

$∴可将 \triangle A B D沿 A D\ $

$所在直线翻折到 \triangle A F D 的位置$

$则 \triangle A B D≌ \triangle A F D$

$∴\angle F=\angle B，B D=D F\ $

$\text { 又 } \angle CA E=\angle B$

$∴\angle CA E=\angle F\ $

$又 \angle A E C=\angle F E D，且 E 是 C D 的中点$

$∴\triangle A C E ≌ \triangle F D E$

$∴D F=A C$

$∴B D=A C\ $

$解：(1)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$(3)EF=D F-B E $

$证明：探究：作 D E \perp A B 于 E， D F \perp A C ，交 A C的延长线于 F $

$\ 在 \triangle D F A 和 \triangle D E A 中$

$\begin{cases}{\angle D A F=\angle D A E}\\{\angle A F D=\angle A E D=90°}\\{D A=D A}\end{cases}$

$∴\triangle D F A ≌ \triangle D E A( AAS ) $

$∴D F= D E $

$∵\angle A B D+\angle A C D=180°， \angle A C D+\angle F C D=180° $

$∴\angle A B D=\angle F C D $

$在 \triangle D F C 和 \triangle D E B 中 $

$\begin{cases}{\angle D F C=\angle D E B}\\{\angle F C D=\angle E B D}\\{D F=D E}\end{cases}$

$∴\triangle D F C≌ \triangle D E B(\mathrm {AAS})$

$∴D B=D C $

$应用：连接 A D ，作 D F \perp A C ，交 A C 的延长线于 F $

$∵\angle A C D=135°$

$∴\angle F C D=180°-\angle A C D=45°$

$∵\angle B= 45°$

$∴\angle F C D=\angle B $

$在 \triangle D F C 和 \triangle D E B 中$

$\begin{cases}{\angle D F C=\angle D E B=90°}\\{\angle F C D=\angle B}\\{D C=D B}\end{cases}$

$∴\triangle D F C ≌ \triangle D E B(\mathrm {AAS})$

$∴D F=D E，C F=B E $

$在 Rt \triangle A D F 和 Rt \triangle A D E 中$

$\begin{cases}{A D=A D}\\{D F=D E }\end{cases}$

$∴Rt \triangle A D F≌ Rt \triangle A D E(\mathrm {HL})$

$∴A F=A E $

$∴A B=A E+B E=A C+C F+B E=A C+2BE$

$∴A B-A C=2BE $

$证明：过点 P 作 B Q 的平行线交 A C 于点 D\ $

$∵B Q 平分 \angle A B C 且 \angle A B C=180°-\angle BA C-\angle C=80°$

$∴\angle C B Q= \frac{1}{2} \angle A B C=\frac{1}{2} ×80°=40°$

$∴\angle C B Q=\angle A C B\ $

$过点 Q 作 Q F \perp B C 于点 F$

$易证 \triangle B Q F≌\triangle C Q F$

$∴B Q=C Q$

$∴B Q+A Q= C Q+A Q=A C \quad①$

$∵P D// B Q$

$∴\angle C P D=\angle C B Q=40°$

$∴\angle C P D=\angle A C B=40°$

$∴P D=C D$

$又 \angle A D P=\angle C P D+\angle A C B=40°+40°=80°$

$且 \angle A B C=80°$

$∴\angle A B C=\angle A D P\ $

$∵A P 平分 \angle BA C$

$∴\angle BA P= \angle CA P\ $

$在 \triangle A B P 与 \triangle A D P 中$

$~\angle A B P=\angle A D P~ \angle BA P=\angle DA P~A P=A P$

$∴\triangle A B P≌\triangle A D P(\mathrm{AAS})$

$∴A B=A D，B P=P D，$

$∴A B+B P=A D+P D=A D+ C D=A C ②$

$由①②可得，A B+B P=B Q+A Q\ $

$解： (1) 将 \triangle A D F 绕着点 A 按顺时针方向旋转 90°，$

$得 \triangle A B H$

$∵四边形 A B C D 是正方形$

$∴A D=A B=B C=C D，\angle A B C=\angle A D F=\angle C=90° $

$∵D F=B E=B H=1$

$由旋转可得 A F=A H，\angle DA F=\angle BA H$

$又∵\angle EA F=45°$

$∴\angle DA F+ \angle BA E=45°=\angle BA H+\angle BA E=\angle HA E=\angle EA F$

$∵A E=A E$

$∴\triangle A E F ≌ \triangle A E H(\mathrm {SAS})$

$∴H E=E F=2\ $

$证明：(2)将 \triangle A D F 绕着点 A 按顺时针方向旋转 90°，$

$得 \triangle A B F^{\prime}$

$则 \angle A B F^{\prime}=\angle D，A F=A F^{\prime}，\angle BA F^{\prime}=\angle DA F $

$∵四边形 A B C D 是正方形$

$∴\angle D=\angle A B C=90°$

$∴\angle A B F^{\prime}=90°$

$∴\angle F^{\prime}\ \mathrm {B}\ \mathrm {C}=180°$

$∴F^{\prime} 、 B 、 E 在同一直线上$

$∵\angle EA F=45°$

$∴\angle DA F+\angle BA E=45°=\angle F^{\prime}\ \mathrm {A}\ \mathrm {B}+\angle BA E=\angle F^{\prime}\ \mathrm {A}\ \mathrm {E}=\angle EA F$

$又∵A E=A E$

$∴\triangle A F^{\prime}\ \mathrm {E}≌\triangle A F E (\mathrm {SAS})$

$∴E F=E F^{\prime}$

$∴E F= F^{\prime}\ \mathrm {E}=B E+D F$

$即 B E+D F=E F $