第26页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

$证明：(1)∵A H \perp B C，\angle BA C=90°$

$∴\angle A H C=90°=\angle BA C$

$∴\angle BA H+\angle CA H=90°，\angle BA H+\angle B=90°$

$∴\angle CA H=\angle B\ $

$在 \triangle A B H 和 \triangle CA H 中$

$\begin{cases}{\angle B=\angle CA H}\\{\angle B HA=\angle A H C}\\{ A B=CA}\end{cases}$

$∴\triangle A B H≌ \triangle CA H(\mathrm{AAS})$

$∴B H=A H，A H=C H$

$∴A H=\frac{1}{2}\ \mathrm {B} C\ $

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

（更多请点击查看作业精灵详解）

$解：(2)如图①，过点 A 作 A H \perp B P 于点 H，$

$连接 A P，在 B P 上截取一点 D 使得 B D=P C$

$设 A C 与 B P交于点 E$

$∵\angle BA C= \angle B P C=90° 且 \angle A E B=\angle P E C$

$∴\angle A B D=\angle A C P\ $

$又∵A B= A C，B D=P C$

$∴\triangle A P C ≌ \triangle A D B (\mathrm {SAS})$

$∴B D=C P=1$

$∴D P=B P-B D=6-1=5\ $

$∵A H \perp D P$

$由 (1) 得 A H= \frac{1}{2}\ \mathrm {D}\ \mathrm {P}=\frac{5}{2}\ $

$如图②，过点 A 作 A H \perp B P 于点 H，连接 A P$

$在 P B 的延长线上截取一点 D 使得 B D=P C$

$∵\angle BA C=\angle B P C=90°$

$∴\angle A B P+\angle A C P=180°$

$∵\angle A B P+\angle A B D=180°$

$∴\angle A B D= \angle A C P$

$又∵A B=A C，B D=P C$

$∴\triangle A P C≌ \triangle A D B (\mathrm {SAS})$

$∴B D=C P=1$

$∴D P=B P+B D=6+1=7\ $

$∵A H \perp D P$

$∴A H= \frac{1}{2}\ \mathrm {D}\ \mathrm {P}=\frac{7}{2}\ $

$综上所述，点 A 到 B P 的距离为 \frac{5}{2} 或 \frac{7}{2}\ $

$证明：在 A B 上截取 A F=A D，连接 E F $

$∵A E 平分 \angle PA B$

$∴\angle DA E= \angle FA E $

$在 \triangle DA E 和 \triangle FA E 中$

$ \begin{cases}{A D=A F}\\{\angle DA E=\angle FA E}\\{A E=A E}\end{cases}$

$∴\triangle DA E≌\triangle FA E(\mathrm {SAS})$

$∴\angle A F E=\angle A D E $

$∵A D//B C$

$∴\angle A D E+\angle C= 180° $

$∵\angle A F E+\angle E F B=180°$

$∴\angle E F B=\angle C $

$∵B E 平分 \angle A B C$

$∴\angle E B F=\angle E B C$

$在 \triangle B E F 和 \triangle B E C 中$

$\begin{cases}{\angle E F B=\angle C}\\{ \angle E B F=\angle E B C}\\{B E=B E}\end{cases}$

$∴\triangle B E F ≌ \triangle B E C(\mathrm {AAS})$

$∴B C=B F$

$∴A D+B C=A F+B F=A B $

$解：结论： \angle A B E=2 \angle C B E\ $

$延长 B E 交 A C 于点 F$

$∵B F \perp A D$

$∴\angle A E B=\angle A E F\ $

$∵A D 平分 \angle BA C$

$∴\angle BA E=\angle FA E\ $

$在 \triangle A B E 和 \triangle A F E 中$

$\begin{cases}{\angle A E B=\angle A E F}\\{A E=A E}\\{\angle BA E=\angle FA E}\end{cases}$

$∴\triangle A B E ≌\triangle A F E(\mathrm{ASA})$

$∴\angle A B E=\angle A F E\ $

$∵\angle C+\angle C B E=\angle A F E= \angle A B E$

$\angle A B E+\angle C B E=\angle A B C=3 \angle C$

$∴\angle C+2 \angle C B E= 3 \angle C$

$∴\angle C B E=\angle C$

$\text {. 又 }∵\angle A B C=3 \angle C$

$∴\angle A B E= 2 \angle C=2 \angle C B E\ $