第25页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

2＜AD＜10

$解：(2) 延长 F D 至点 M，使 D M=D F$

$连接 B M 、 E M$

$同(1) 得 \triangle B M D ≌\triangle C F D (\mathrm {SAS})$

$∴B M=C F$

$∵D E \perp D F，D M=D F$

$∴E M=E F\ $

$在 \triangle B M E 中，由三角形三边关系，得 B E+B M\gt E M$

$∴B E+C F\gt E F\ $

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$证明：过点 B 作 B F //A C，交 C E 的$

$延长线于点 F$

$∵C E 是 \triangle A B C 的中线，B F// A C$

$∴A E=B E，\angle BA C=\angle A B F，\angle A C E= \angle F $

$在 \triangle A C E 和 \triangle B F E 中$

$\begin{cases}{\angle EA C=\angle E B F}\\{\angle A C E=\angle F}\\{A E=B E}\end{cases}$

$∴\triangle A C E≌ \triangle B F E(\mathrm {AAS})$

$∴C E=E F，A C=B F$

$∴C F=2\ \mathrm {C}\ \mathrm {E} $

$∵\angle A C B= \angle A B C$

$作 A G \perp B C 于点 G，易证 \triangle A C G ≌\triangle A B G$

$∴A C=A B $

$又 C B 是 \triangle A D C 的中线$

$∴A C=A B=B D=B F $

$∵\angle D B C= \angle BA C+\angle A C B=\angle A B F+\angle A B C$

$∴\angle D B C=\angle F B C $

$在 \triangle D B C 和 \triangle F B C 中$

$\begin{cases}{D B=F B}\\{\angle D B C=\angle F B C}\\{B C=B C}\end{cases}$

$∴\triangle D B C≌ \triangle F B C(\mathrm {SAS})$

$∴C D=C F=2\ \mathrm {C}\ \mathrm {E} $

$证明：在 C D 上截取 J D=D E，连接 JA$

$过点 A 作 A I \perp C D 于 I，A H \perp B C 于 H$

$∴\angle A I J=\angle A H B=90°\ $

$∵A D 平分 \angle C D E$

$∴\angle A D C=\angle A D E\ $

$在 \triangle A J D 与 \triangle A E D 中$

$\begin{cases}{J D=E D}\\{\angle A D C=\angle A D E}\\{A D=A D}\end{cases}$

$∴\triangle A J D ≌\triangle A E D(\mathrm{SAS})$

$∴A E=A J，\angle A J D=\angle E\ $

$又 A B=A E$

$∴A B=A J\ $

$∵\angle B+\angle E=180°，\angle A J D+\angle A J C=180°$

$∴\angle B=\angle A J C\ $

$在 \triangle A J I 与 \triangle A B H 中$

$\begin{cases}{\angle A I J=\angle A H B}\\{ \angle A J I=\angle B}\\{A J=A B}\end{cases}$

$∴\triangle A J I ≌ \triangle A B H(\mathrm{AAS})$

$∴A I=A H$

$\text { 在 } \text { Rt } \triangle A I C \text { 与 Rt } \triangle A H C \text { 中}$

$\begin{cases}{A I=A H}\\{A C=A C}\end{cases}$

$∴\text { Rt } \triangle A I C≌ \mathrm{Rt} \triangle A H C(\mathrm {HL})$

$∴H C=I C$

$∴B C+D E=B H+H C+D E=I J+C I+J D=C D$

$即 B C+D E=C D\ $