第42页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

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$解：(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC$

$∴AP=BP，AQ=CQ,$

$∴△APQ的周长=AP+PQ+AQ$

$=BP+PQ+CQ=BC$

$∵△APQ的周长为12$

$∴BC=12$

$解：(2)∵AP=BP，AQ=CQ，$

$MP 和NQ 分别垂直平分AB和AC$

$易证 Rt△BMP≌Rt△AMP，$

$Rt△ANQ≌Rt△CNQ$

$∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ$

$∵∠BAC=105°$

$∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C$

$=180°-∠BAC=180°-105°=75°$

$∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)$

$= 105°-75°=30°$

$证明： ∵A D 垂直平分 B C$

$∴\angle A D B=\angle A D C=90°$

$B D=D C， A B= A C $

$在 Rt \triangle A D B 和 Rt \triangle A D C 中$

$ \begin{cases}{A B=A C}\\{B D=C D}\end{cases}$

$∴Rt \triangle A D B≌ Rt \triangle A D C(\mathrm {HL})$

$∴\angle A B D=\angle A C D $

$∵C B 平分 \angle A C F $

$∴\angle F C D=\angle A C D$

$\ ∴\angle A B D=\angle F C D $

$ 在 \triangle B D E 和 \triangle C D F 中 $

$\begin{cases}{\angle E D B=\angle F D C}\\{B D=C D}\\{\angle E B D=\angle F C D}\end{cases}$

$∴\triangle B D E≌ \triangle C D F(\mathrm {ASA})$

$∴B E=C F$