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18°或112°

$解：(1)∵B D 是线段 A E 的垂直平分线$

$∴A B=B E，A D=D E\ $

$∵\triangle A B C 的周长为 18，$

$\triangle D E C 的周长为 6$

$∴A B+B E+E C+ C D+A D=18$

$C D+E C+D E=C D+E C+A D=6$

$∴A B+B E=18- 6=12，∴A B=6$

$(2)∵\angle A B C=30°，\angle C=45°$

$∴\angle BA C=180°-30°-45°=105°\ $

$在 \triangle BA D 和 \triangle B E D 中$

$\begin{cases}{BA=B E}\\{B D=B D}\\{DA=D E}\end{cases}$

$∴\triangle BA D≌ \triangle B E D(\mathrm{SSS})\ $

$∴\angle B E D=\angle BA C=105°$

$∴\angle C D E=\angle B E D-\angle C=105°- 45°=60°\ $

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$解：(1)∵MN⊥AB$

$∴∠ACP=∠BCP=90°$

$在△ACP 和△BCP 中$

$\begin{cases}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCP}\\{PC=PC}\end{cases}$

$∴△ACP≌△BCP(\mathrm {SAS})$

$∴PA=PB$

$解：(2)①∵MN垂直平分AB$

$∴MB=MA$

$∵△MBC的周长是18\ \mathrm {cm}$

$∴MB+MC+BC=MA+MC+BC$

$=AC+BC=18\ \mathrm {cm}$

$∵AC=AB=10\ \mathrm {cm}$

$∴BC=8\ \mathrm {cm}$

$②存在，如图所示$

$∵AB的垂直平分线交AB于点N，$

$交AC于点M$

$∴PA=PB$

$∴△PBC的周长=PB+PC+BC$

$=PA+PC+BC$

$∴当A、P、C三点共线，即点P 与点M重合时，$

$PA+PC的值最小$

$即此时△PBC的周长最小，$

$最小值为PA+PC+8=AC+8=18\ \mathrm {cm}$