第51页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

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（更多请点击查看作业精灵详解）

$证明：(1)过点A作AG⊥OF 于点G，$

$AH⊥OE于点H$

$则∠AHO= ∠AGO=90°$

$∵∠EOF=120°$

$∴∠HAG=60°=∠BAC$

$∴∠HAG-∠BAH=∠BAC-∠BAH，$

$即∠BAG=∠CAH$

$∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH ⊥ OE$

$∴AG = AH$

$在 △BAG 和 △CAH 中$

$\begin{cases}{∠AGB=∠AHC}\\{AG=AH}\\{∠BAG=∠CAH}\end{cases}$

$∴△BAG≌△CAH(\mathrm {ASA})$

$∴AB=AC$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$解：(1)∵OA \perp O B$

$∴\angle A O P=90°$

$∴\angle OA P+\angle A P O=90°\ $

$∵A E 平分 \angle OA P，P E 平分 \angle A P O$

$∴\angle PA E=\frac{1}{2} \angle OA P，\angle A P E=\frac{1}{2} \angle A P O$

$∴\angle PA E+\angle A P E=\frac{1}{2}(\angle OA P+ \angle A P O)$

$=\frac{1}{2} ×90°=45°$

$∴\angle A E P=180°-(\angle PA E+ \angle A P E)$

$=180°-45°=135°$

$∴\angle A E P 的度数为 135°\ $

$解：(2) \triangle E P F 是等腰直角三角形，$

$形状不会发生变化$

$理由如下：$

$∵P E 平分 \angle A P O，P F 平分 \angle O P D$

$∴\angle O P E= \frac{1}{2} \angle A P O，\angle O P F=\frac{1}{2} \angle O P D\ $

$∵\angle A P O+\angle O P D=180°$

$∴\angle E P F=\angle O P E+\angle O P F$

$=\frac{1}{2}(\angle A P O+\angle O P D)=90°$

$∴\triangle E P F 是直角三角形$

$又∵\angle A E P=135°$

$∴\angle P E F= 180°-\angle A E P=180°-135°=45°$

$∴\angle P E F=\angle F=45°$

$∴\triangle E P F 是等腰直角三角形$

$解：(2)(1)中的结论还成立，证明如下：$

$过点A作AG⊥OF 于点 G，AH⊥OE于点H$

$则∠AHC=∠AGO=90°$

$∵∠EOF=120°$

$∴∠HAG=60°=∠BAC$

$∴∠HAG-∠BAH= ∠BAC-∠BAH$

$即∠BAG=∠CAH$

$∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE$

$∴AG=AH$

$在△BAG 和△CAH 中$

$\begin{cases}{∠AGB=∠AHC}\\{AG=AH}\\{∠BAG=∠CAH}\end{cases}$

$∴△BAG≌△CAH(\mathrm {ASA})$

$∴AB=AC$

$证明：(3)①设点F、M分别在BO、OA的延长线上$

$∵∠AOC= ∠BOC=60°$

$∴∠FOA=180°-∠AOC-∠BOC=60°$

$∴∠FOA=∠AOC，即 OM平分∠COF$

$由(2)知AC=AB$

$∵∠BAC=60°$

$∴△ABC是等边三角形$

$②在OC上截取 ON=OB，连接BN$

$∵∠COB=60°$

$∴△BON是等边三角形$

$∴BN=OB，∠OBN=60°$

$∵△ABC是等边三角形$

$∴∠ABC=60°=∠OBN$

$∴∠OBN-∠ABN=∠ABC-∠ABN，$

$即 ∠ABO = ∠CBN$

$在 △AOB 和 △CNB 中$

$\begin{cases}BA=BC\\∠ABO=∠CBN\\BO=BN\end{cases}$

$∴△AOB≌△CNB(\mathrm {SAS})$

$∴OA=NC$

$∴OC=ON+CN=OB+OA，$

$即OC=OA+OB$