第142页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

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$证明：(2)∵AP 平分∠CAM，∴∠DAE=∠CAE$

$∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC= 90°$

$在△AED和△AEC中$

$\begin{cases}{∠DAE=∠CAE}\\{AE=AE} \\ {∠DEA=∠CEA} \end{cases}$

$∴△AED≌△AEC$

$∴CE= ED$

$解：(2)存在，当P 为BC的中点时，AQ⊥CQ$

$由(1)知，△ABP≌△ACQ$

$∴∠APB=∠AQC$

$∵P 为BC的中点，△ABC为等边三角形$

$∴AP⊥BC，即∠APB=90°$

$∴∠AQC=90°$

$∴AQ⊥QC$

$即当P 为BC的中点时，AQ⊥CQ$

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$解：(3)∵△ABF≌△CBF$

$∴AF=FC，AB=BC$

$∵∠AFC=∠ADC=90°，∠AGF=∠CGD$

$∴∠FAG=∠FCE$

$在△AFG 和△CFE中$

$\begin{cases}{∠AFG=∠CFE}\\{AF=CF}\\{FAG=∠FCE}\end{cases}$

$∴△AFG≌△CFE(\mathrm {ASA})$

$∴AG=EC=4.5$

$∵BE=3$

$∴BC=BE+EC=7.5$

$∴AB=BC=7.5$

$证明：(1)过点P 作PT⊥BC于点T，$

$PS⊥AC于点S，PQ⊥BM于点Q$

$∵∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN$

$的平分线相交于点P$

$∴PQ=PT，PS=PT$

$∴PQ= PS$

$∴AP 平分∠CAM$

$证明：(1)∵△ABC和△APQ 都是等边三角形$

$∴AB=AC，AP=AQ，$

$∠BAC=∠PAQ= 60°$

$∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠ PAC$

$∴∠BAP=∠CAQ$

$在△ABP 和△ACQ 中$

$\begin{cases}{AB=AC}\\{∠BAP=∠CAQ} \\ {AP=AQ} \end{cases}$

$∴△ABP≌△ACQ(\mathrm {SAS})$

$∴∠ACQ=∠B=∠BAC=60°$

$∴AB//CQ$

$证明：(1)∵AE是∠BAD的平分线$

$∴∠BAD=2∠BAF$

$∵∠BFE=45°$

$∴∠FBA+∠BAF=45°$

$∴2∠FBA+2∠BAF=90°$

$∵AD为BC边上的高$

$∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°$

$∴2∠FBA=∠EBF+∠FBA$

$∴∠EBF=∠FBA$

$∴BF 平分∠ABE$

$证明：(2)过点F作FM⊥BC于点M，$

$FN⊥AB 于点N$

$∵BF 平分∠ABE，FM⊥BC，FN⊥AB$

$∴FM=FN$

$∵S_{△ABF}=S_{△CBF}，$

$即\frac{1}{2}AB · FN=\frac{1}{2}BC · FM$

$∴AB=BC$

$在△ABF 和△CBF 中$

$\begin{cases}{BA=BC}\\{∠ABF=∠CBF}\\{BF=BF}\end{cases}$

$∴△ABF≌△CBF(\mathrm {SAS})$

$∴∠AFB=∠CFB$

$∵∠BFE=45°$

$∴∠AFB=135°$

$∴∠CFB=135°$

$∴∠CFE=∠CFB-∠BFE=135°-45°=90°$

$∴∠AFC=90°$