第16页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

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$证明：(1)∵点D，E关于直线AC对称$

$∴AD=AE，∠DAC=∠EAC$

$∵△ABC是等边三角形$

$∴AB= AC，∠BAC=60°$

$∵D为线段BC的中点$

$∴∠DAC =\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×60°= 30°$

$∠DAC=∠EAC=30°$

$∴∠DAE= 60°$

$∵AD=AE$

$∴△ADE是等边三角形$

$解：(2)补全图形如图，线段AD与CF的$

$数量关系为AD=2CF，证明如下：$

$延长CF到点G，使GF=CF，连接BG$

$∵F 为线段BE的中点$

$∴BF=EF$

$在△BFG 和△EFC中$

$\begin{cases}{GF=CF}\\{∠BFG=∠EFC} \\ {BF=EF} \end{cases}$

$∴△BFG≌△EFC$

$∴GB=CE，∠G=∠FCE$

$∴BG//CE$

$∵△ABC是等边三角形$

$∴AC=BC，∠ACB= 60°$

$∴∠ACD= 120°$

$∵点D，E关于直线AC对称$

$∴CD=CE，∠ACD=∠ACE= 120°$

$∴CD=BG，∠BCE= 60°$

$∵BG//CE$

$∴∠BCE+∠CBG=180°$

$∴∠CBG= 120°$

$∴∠ACD=∠CBG$

$在△ACD和△CBG 中$

$\begin{cases}{AC=CB}\\{∠ACD=∠CBG} \\ {CD=BG} \end{cases}$

$∴△ACD≌△CBG$

$∴AD=CG$

$∴AD=2CF$

$证明：(1)在△ACD中，AD=AC$

$∴∠ADC=∠ACD$

$∴∠ADB= ∠ACE$

$在△ADB和△ACE中$

$\begin{cases}{AD=AC}\\{∠ADB=∠ACE} \\ {BD=CE} \end{cases}$

$∴△ADB≌△ACE(\mathrm {SAS})$

$∴AB=AE$

$解：(2)PC与BD的数量关系为PC= 2BD$

$证明：在线段PC上取一点E，使CE= BD，$

$连接AE$

$由(1)得△ADB≌△ACE(\mathrm {SAS})$

$∴∠AEC=∠B= 60°$

$∴∠AEP=120°$

$∵DF=DB，∠B= 60°$

$∴△DBF 是等边三角形$

$∴∠FDB=∠DFB= 60°$

$∴∠PFD+∠PFA=120°，∠PDF= 120°$

$∴∠AEP=∠PDF$

$∵PA=PF$

$∴∠PAF=∠PFA$

$∵∠APE+∠PAF=180°-∠B= 120°$

$∴∠APE=∠PFD$

$在△APE和△PFD中$

$\begin{cases}{∠AEP=∠PDF}\\{∠APE=∠PFD} \\ {PA=PF} \end{cases}$

$∴△APE≌△PFD(\mathrm {AAS})$

$∴PE= DF= BD=CE$

$∴PC=2BD$