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$证明：(1)∠B=30°，∠BAD=∠C=40°$
$∴∠ADB=∠ BAC= 180°-40°-30°=110°$
$又∵∠B=∠B$
$∴△ABD的三个内角与△ABC的三个内角$
$的度数分别相等$
$∵∠B=30°，∠BAD= 40°$
$∴∠ADC=∠ B+∠BAD=70°$
$又∵∠ADB=110°$
$∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=70°=∠ADC$
$∴AC= DC$
$∴△ACD是等腰三角形$
$∴AD为△ABC的“等角分割线”$
$解：(2)①作∠BAC的平分线，交BC于点D，$
$线段AD即为所求，，理由如下：$

$∵∠C=90°，∠B=30°$
$∴∠BAC=90°- 30°= 60°$
$∵AD平分∠BAC$
$∴∠DAC=∠ DAB= 30°=∠B$
$∴∠ADC=60°=∠BAC$
$又∵∠C=∠C$
$∴△ADC的三个内角与△ABC的三个内角$
$分别相等$
$∵∠BAD=∠B$
$∴AD= BD$
$∴△ABD是等腰三角形$
$∴AD为△ABC的“等角分割线”$
$②设CD=x$
$∵在△ADC中，∠C=90°，∠DAC= 30°$
$∴AD=2CD=2x$
$∴BD=AD=2x$
$∵BC=6$
$∴x+2x=6$
$∴x=2$
$∴AD=2x=4$
$解：(3)当△ACD是等腰三角形，DA= DC时，$
$∠ACD=∠A=42°$
$∴∠ACB=∠BDC=42°+42°=84°\ $
$当△ACD是等腰三角形，DA=AC时，$
$∠ACD=∠ADC=69°，∠BCD=∠A=42°$
$∴∠ACB=69°+42°=111°$
$△ACD是等腰三角形，CD= AC的情况不存在；$
$当△BCD是等腰三角形，DC= BD时，$
$∠ACD=∠BCD=∠B=46°$
$∴∠ACB=92°\ $
$当△BCD是等腰三角形，DB= BC时，$
$∠BDC= ∠BCD$
$设∠BDC=∠BCD=x$
$则∠B=180°- 2x$
$则∠ACD=∠B=180° - 2x$
$由题意得，180°- 2x+42°=x$
$解得x=74°$
$∴∠ACD=180°-2x=32°$
$∴∠ACB= 106°$
$△BCD是等腰三角形，CD=CB的$
$情况不存在$
$综上，∠ACB的度数为84°或111°或92°或106°$
$解：(1)∵∠COB=90°，∠B=30°，OC=3$
$∴BC=6$
$解：(2)∵∠COB=90°，QG⊥OC$
$∴GQ//OB$
$∴∠CQG=∠B= 30°$
$∵QB=t$
$∴CQ=6-t$
$∴CG=\frac{1}{2}(6-t)$
$当0≤t≤2时，d=\frac{1}{2}(6-t)-t=3-\frac{3}{2}t$
$当2＜t≤6时，d=t-\frac 12(6-t)=\frac 32t-3$
$解：(3)当点P 在点G 上方时，在CB上截取$
$一点K，使得CK= CP，连接PK$

$∵∠PCK= 60°，CP=CK$
$∴△PCK是等边三角形$
$∴PC=PK，∠CPK=∠FPQ=60°$
$∴∠CPF=∠KPQ$
$在等边△PQF 中，PF= PQ$
$∴△CPF≌△KPQ(\mathrm {SAS})$
$∴CF=KQ$
$∴CQ=CK+ KQ=PC+CF$
$∴6-t=t+3$
$∴t=\frac{3}{2}$
$∴PG=3-\frac{3}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$
$当点P 在点G 下方时，$

$同法可证CP=CF+CQ$
$则有t=3+6-t$
$解得t=\frac{9}{2}$
$∴PG=\frac{3}{2}×\frac{9}{2}-3=\frac{15}{4}$
$综上所述，PG 的长为\frac{3}{4}或\frac{15}{4}$
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