$证明：延长AD，交BC于点E.$ $因为BD平分∠ABC，$ $所以∠ABD=∠EBD.\ $ $因为 BD⊥AD，$ $所以 ∠ADB=∠EDB=90°.$ $在△ABD 和△EBD 中， $ $\begin{cases}{∠ABD=∠EBD,}\\{BD=BD,\ }\\{∠ADB=∠EDB,}\end{cases} $ $所以△ABD≌△EBD (\mathrm {ASA}). $ $所以∠BAD=∠BED.$ $因为∠BED=∠DAC+∠C,$ $所以∠BAD=∠DAC+∠C.$
$证明：(1)过点 C 作CF⊥AB 于点F，$ $则∠AFC= ∠CFB = 90°.\ $ $因为 AC 平分∠PAB，$ $所以∠CAD=∠CAF.$ $又因为l⊥AP,$ $所以∠ADC=90°，$ $即∠ADC=∠AFC.$ $在△ACD 和△ACF 中，$ $\begin{cases}{∠CAD=∠CAF,}\\{∠ADC=∠AFC，\ }\\{AC=AC,}\end{cases}$ $所以△ACD≌△ACF (\mathrm {AAS}).$ $所以AD=AF.$ $因为PA//QB,l⊥PA,$ $所以l⊥BQ，即∠BEC=90°.\ $ $同理，得 BE=BF.$ $因为AF+BF=AB，$ $所以AD+BE=AB.$
$解：(2)成立.$ $证明如下:$ $在AB上截取AG=AD，连接 CG.$ $因为AC平分∠PAB，$ $所以∠DAC=∠GAC.$ $在△ADC 和△AGC 中，$ $\begin{cases}{AD=AG,\ }\\{∠DAC=∠GAC,}\\{AC=AC，\ }\end{cases} $ $所以△ADC ≌△AGC (\mathrm {SAS}).$ $所以 ∠ADC =∠AGC.$ $又因为PA//QB，$ $所以∠ADC+∠BEC=180°.$ $又∠AGC+∠BGC=180°，$ $所以∠BEC=∠BGC.$ $又 BC 平分∠QBA,$ $所以∠CBE =∠CBG.$ $在△BCE和△BCG中，$ $\begin{cases}{∠BEC=∠BGC,\ }\\{∠CBE=∠CBG,}\\{BC=BC，\ }\end{cases}$ $所以△BCE≌△BCG(\mathrm {AAS}).$ $所以BE=BG.$ $又因为AG+BG=AB，$ $所以AD+BE=AB.$
$解：(3)不成立.$ $如图①，当点D在AB 的上方，$ $点E 在AB的下方时，$ $AD、BE和AB之间的数量关系是$ $AD-BE=AB;$ $如图②，当点D在AB 的下方，$ $点 E在AB 的上方时，$ $AD、BE和AB之 间的数量关系是$ $BE-AD=AB.$
$解：BD=AC.理由如下:$ $因为∠BAC=90°，$ $所以 ∠CAE+∠BAE=90°.$ $又∠CAE=∠B,$ $所以∠B + ∠BAE = 90°.\ $ $又∠AEB + ∠B +∠BAE=180°,$ $所以∠AEB=180°-(∠B+∠BAE)=90°，$ $即AE⊥CD.$ $所以∠AEC=90°.$ $又 E 是CD 的中点，$ $所以 CE=DE.\ $ $所以将△AEC绕点E顺时针旋转180°得到△FED(如 图).$ $所以△FED≌△AEC,$ $即∠F=∠CAE,∠FED=∠AEC=90°,DF=AC.$ $所以∠F=∠B,∠FED+∠AEB=180°,$ $即 A,E,F三点共线，$ $因为 AD 平分∠BAE，$ $所以∠BAD= ∠FAD.$ $在△BAD和△FAD中，$ $\begin{cases}{∠B=∠F,}\\{∠BAD=∠FAD,}\\{AD=AD,\ }\end{cases}$ $所以△BAD≌△FAD(\mathrm {AAS}).$ $所以BD=FD,$ $即BD=AC.$
$证明：因为AB=AE，$ $所以将△ADE绕点A按顺时针 方向旋转，$ $使AE与AB重合，得到△ABF.$ $由旋转的性质得∠ABF = ∠AED, ∠AFB =∠ADE,AF=AD,BF=ED.\ $ $又因为∠AED +∠ABC=180°，$ $所以∠ABF+∠ABC=180°，$ $即F,B,C 三点共线,\ $ $又因为CF=BC+BF，$ $所以CF=BC+ED.$ $又因为BC+DE=CD，$ $所以CF=,CD.$ $连接AC.$ $在△ACF和△ACD中，$ $\begin{cases}{AF=AD，}\\{AC=AC，}\\{CF=CD，}\end{cases}$ $所以△ACF≌△ACD(\mathrm {SSS}).$ $所以∠AFC=∠ADC.$ $所以∠ADC=∠ADE,$ $即 DA 平分∠CDE.$
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